Vermyding van Reghoeke – 2
Die X'e in 'n rooster kan die hoeke van reghoeke met horisontale en vertikale sye word. Die X'e in hierdie eerste rooster vorm twee reghoeke. Die doel is egter om te verhoed dat reghoeke geskep word. Die X'e in die tweede rooster word geplaas om te verhoed dat enige reghoeke gevorm word.
DIE UITDAGING
Plaas soveel X'e as moontlik in hierdie 4 by 4-rooster en vermy die skep van enige reghoeke.
VERKENNING
Wat is die maksimum wat jy kan hê vir ander groottes roosters? Sien jy enige patrone in jou antwoorde?
Notes
DIE UITDAGING
Om dit in die algemeen op te los, is 'n baie moeilike, onopgeloste probleem in wiskunde. Dit behoort egter nie 'n student te verhinder om daarmee te speel en baie interessante dinge langs die pad te leer nie.
Veronderstel die rooster het m rye en n kolomme. In Vermy Reghoeke – 1, het ons die volgende resultate vir die beste antwoorde gevind.
1ste en 2de rye: Ons het m + n – 1 X’e gehad
3 rye: Ons het m + n X'e gehad deur 'n begindiagram vir 'n 3 by 3-rooster te gebruik wat soos die volgende diagram gelyk het. Deur daardie diagram te gebruik, as ons 3 rye met meer kolomme gehad het, kan ons net 'n enkele X in elke nuwe kolom byvoeg.
Die 3 by 3-geval het 'n ander voorkoms vereis as die 1- en 2-ry-strategie, en dit is aanloklik om te dink dat die voorbeelde met 4 of meer rye ook nuwe denke sal vereis. Om die voor die hand liggende te stel, ons wil 'n versameling kolomme skep wat nooit 'n paar rye met X'e daarin deel nie.
Een strategie is om alles in die heel linker kolom in te vul, behalwe die onderste vierkant, en dan het die res van die kolomme een X in die onderste ry en een X in 'n ander ry. Dit sal altyd werk en lewer (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X'e vir 'n m by m vierkantrooster. Hierdie metode vir die invul van die vierkant kan dan uitgebrei word (deur 'n enkele X in elke nuwe kolom by te voeg) na enigiets met m rye om 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X'e te gee, wanneer m < n. Hierdie formule werk vir al die antwoorde vir enige grootte rooster (met meer as 1 ry) tot dusver.
VERKENNING
As jy aanlyn na die beste antwoorde soek, wys dit dat jy 12 X'e vir die 5 by 5-geval kan doen (wat jy kan kry deur die patroon te gebruik), en dan 16 X'e vir die 6 by 6-geval (hier getoon).
Daarna is die getalle wat by 7 by 7 begin in volgorde: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 en 122. Wiskundiges het al baie interessante ondersoeke gedoen oor hoe hierdie werk, en jou wiskundiges kan ook baie pret daarmee hê!
