የሳምንቱ እንቆቅልሾች

ተግዳሮቱ

አንድ ነገር ልብ ሊባል የሚገባው ለማንኛውም n፣ የተወሰኑ ሊሆኑ የሚችሉ መፍትሄዎች አሉ። 1/N = 1/A – 1/B ከሆነ፣ 1/A – 1/N = 1/B > 0። 1/A – 1/N > 0 ማለት N > A ማለት ነው። ስለዚህ፣ 1 < A < N፣ ይህም ማለት ቢበዛ N - 2 መፍትሄዎች አሉ ማለት ነው፣ እና በዚያ ክልል ውስጥ ያሉትን ሁሉንም የA እሴቶች በመፈተሽ በተወሰነ ደረጃ አሰልቺ በሆነ መንገድ ማግኘት ይቻላል።

እኩል ቁጥሮች ለሆኑ ዲኖሚነተሮች፣ ለምሳሌ 2d፣ ሁልጊዜ 1/2d = 1/d – 1/2d አለ።

ልዩነቶችን ለመፍጠር ሌላኛው መንገድ የመደመር ቀመር መጀመር ነው። ያለን በጣም ቀላሉ 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1) ነው። ይህ 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1) ይሆናል። የዚህ አጠቃላይ ስሪት 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)] ሲሆን 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] ይሆናል ab > 1።

ስለዚህ፣ አካፋይን እንደ a(a+b)፣ a እና b ፖዘቲቭ እና ab > 1 አድርጎ መቁጠር በሚቻልበት ጊዜ ሁሉ፣ ልዩነት ይኖረናል። በተለይም፣ እያንዳንዱ ቁጥር n > 2 እንደ n = 1 x (1 + (n-1) ሊጻፍ ስለሚችል፣ እያንዳንዱ የግብፅ ክፍልፋይ ቢያንስ በአንድ መንገድ እንደ ልዩነት ሊጻፍ ይችላል። ጥቂት ምሳሌዎች እነሆ፡

• ⅓: a = 1፣ b = 2 ½ – ⅙ ይሰጣል
• ¼: a = 1፣ b = 3 ⅓ ይሰጣል – 1/12
• ⅕: a = 1፣ b = 4 ¼ ይሰጣል – 1/20
• ⅙: a = 1፣ b = 5 ⅕ ይሰጣል – 1/30፤ a = 2፣ b = 1 ½ – ⅓ ይሰጣል
• 1/7: a = 1፣ b = 6 ⅙ ይሰጣል – 1/42
• ⅛: a = 1፣ b = 7 1/7 – 1/56 ይሰጣል፤ a = 2፣ b = 2 ¼ – 1/8 ይሰጣል

ይህ ሁሉም ነገር አይደለም። ለምሳሌ፣ ⅙ = ¼ – 1/12 ን አምልጠናል።

ወደ አልጀብራ ስንገባ፣ ለ > 1 እና ለ > a >1፣ 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab ን ያስቡ። ክፍፍሎቹን ማጽዳት ab = n(ba) ይፈጥራል፣ እና n ን መፍታት ይሰጣል፣ n = ab/(ba)። ይህንን የሚያስኬድ a እና b ን በምናገኝበት ጊዜ ሁሉ፣ ልዩነቱን ማምጣት እንችላለን።

ከዚህ እይታ ጥቂት ምሳሌዎችን ለማግኘት የተሟላ መፍትሄዎችን እንመልከት እና ንድፍ መለየት እንችል እንደሆነ እንይ።

• 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 x 4 / (4 -2) = 3 x 12 / (12 - 3)
• 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)

እነዚህን ምሳሌዎች ስንመለከት፣ n ፕራይም ሲሆን አንድ መፍትሄ ብቻ ያለ ይመስላል። ለምን እንደሆነ እስቲ እንመልከት። n ፕራይም ከሆነ እና < n ከሆነ፣ n = axb / (b – a) b የ n ብዜት እንዲሆን ያስገድዳል፣ ለምሳሌ b = nx c። ከዚያም n = ax nc / (nc – a) ac / (nc – a) ማለት ac = nc – a ማለት ነው። ይህንን እንደገና በመጻፍ nc = a(c + 1) እናገኛለን። n ፕራይም ስለሆነ፣ c + 1 = n እና a = c = n – 1 አለን። ስለዚህ a = n – 1 እና b = n(n-1) ብቸኛው መፍትሄ ነው