أغسطس ٢٠١٥

الأخبار

التطوير المهني – تواصلت إحدى المناطق التعليمية الكبيرة في كندا مع مؤسسة EFM لتقديم عروض تدريبية. إذا كنتم مهتمين ببرامج التطوير المهني التي تقدمها EFM، فلنرتب الأمر ! بشكل عام، إذا كنتم على استعداد لتغطية نفقات السفر وتقديم ملاحظاتكم على مواد EFM، فسيسعدني القدوم إلى منطقتكم التعليمية وتقديم عروض وورش عمل. لديّ موضوعان جاهزان: الأول حول التعلم التفاعلي في الفصل الدراسي والمنزل، والثاني حول استكشاف المشكلات في الفصل الدراسي.

التبرعات – تتنوع تبرعات مؤسسة EFM من حيث الحجم والمصدر. نتلقى تبرعات تتراوح بين 10 دولارات و5000 دولار، كما نتلقى تبرعات من أصحاب العمل تصل إلى 200 و250 دولارًا من موظفين. تبرع لمؤسسة EFM وساهم في تحسين تعليم الرياضيات في المراحل المبكرة!

أوراق لعب الألغاز – لدينا تشكيلة واسعة من أوراق لعب الألغاز للصفوف من الروضة إلى الثالث الابتدائي، ومن الثاني إلى الخامس الابتدائي، باللغتين الإنجليزية والإسبانية. سعر المجموعة الواحدة 3 دولارات فقط، ويسعدنا مناقشة المنح المقدمة للمدارس. تفضلوا بزيارة صفحة الطلبات إذا كنتم مهتمين.

تطبيق لمعلمي الرياضيات المبتدئين - بالإضافة إلى تطبيق EFM للهواتف المحمولة المخصص للعائلات، ترغب EFM في تطوير تطبيق مجاني للهواتف المحمولة للمعلمين. يستهدف هذا التطبيق الجديد معلمي الرياضيات المبتدئين حول العالم ممن لديهم تدريب وموارد محدودة. نأمل في تكييف مجموعتنا الحالية الواسعة من المواد لجعلها مفيدة في هذا السياق. مع ذلك، نحتاج إلى بعض التوجيهات حول الشكل الأمثل لهذا التطبيق في الولايات المتحدة (وربما بعض مناطق برنامج Head Start) وفي مجتمعات أخرى حول العالم. يرجى التواصل معي إذا كنتم ترغبون في التعاون في هذا المشروع.

نظرية الرسم البياني للأطفال في مرحلة ما قبل المدرسة

في النشرتين السابقتين، تحدثتُ عن طرقٍ يمكنك أنت وطفلك من خلالها اللعب بعلم الطوبولوجيا. هذا الشهر، أودّ أن أتطرق إلى موضوع نظرية الرسوم البيانية. الرسوم البيانية التي أتحدث عنها ليست تلك المستخدمة لتمثيل البيانات في تحليل البيانات - سنتناولها في نشرة قادمة.

تتكون هذه الرسوم البيانية من نقاط تُسمى عُقدًا ، ويرتبط بعضها بخطوط تُسمى حوافًا . درجة العقدة هي عدد الحواف المتصلة بها. الرسم البياني المستوي هو الرسم الذي يمكن رسمه على ورقة دون أن تتقاطع حوافه. تُعدّ الرسوم البيانية أحيانًا مفاهيم مجردة، ممتعة بحد ذاتها، وأحيانًا أخرى وسيلة لفهم وتحليل المواقف الفيزيائية دون تشتيت الانتباه بمعلومات غير مفيدة. إليك مثال على هذا النوع من الرسوم البيانية.

لا يُناسب موضوع نظرية الرسوم البيانية الألعاب متعددة اللاعبين، باستثناء لعبة واحدة - فقد تناولتُ في نشرة يونيو قبل شهرين لعبة "براعم"، وهي لعبة ثنائية اللاعبين تعتمد على الرسوم البيانية المستوية. مع ذلك، تزخر نظرية الرسوم البيانية بالعديد من الألغاز الممتعة، وسأعرض الكثير منها اليوم.

اللغز الأول هو الأشهر، وكثيراً ما يُشار إليه باعتباره بداية نظرية الرسوم البيانية ومجال الطوبولوجيا. يُظهر تحليل هذا اللغز قوة أخذ موقف ما وتمثيله كرسم بياني مجرد.

الجسور السبعة في كونيغسبرغ

تقول الحكاية إن سكان كونيغسبرغ كانوا فخورين بجسورهم السبعة، وأرادوا تنظيم موكب يعبر كل جسر منها مرة واحدة فقط. لم يجد أحد طريقة لتحقيق ذلك. إليكم هذا اللغز كما هو موضح على إحدى بطاقات ألغاز EFM.

لقد ذكرتُ هذا اللغز أيضاً في رسالتي الإخبارية لشهر مارس 2023. كان التركيز فيها على تحويل المسائل الرياضية إلى قصص شيقة لجعلها جذابة. وقد ساهم ليونارد أويلر في تأسيس نظرية الرسوم البيانية من خلال إلقاء محاضرة حول هذا اللغز عام 1735.

في هذه المسألة، لا تُعتبر المسافات والأشكال الفعلية للأشياء مهمة. يتم تمثيل جوهر هذه المسألة برسم بياني بسيط، حيث تمثل كل منطقة أرضية عقدة، ويمثل كل جسر من الجسور السبعة حافة.

نعم، اللغز مستحيل، ولكن لماذا؟ يكمن الجزء الممتع في اكتشاف السبب. لاستكشاف ذلك، استخدم إحدى أهم استراتيجيات حل المشكلات: تعلّم من نسخ أبسط للمسألة، وقدّم أمثلة عديدة. أكّد لطفلك على فائدة هذه الاستراتيجية، وشاهد إن كان بإمكانه ابتكار أمثلة خاصة به. إليك بعض الأمثلة، ولكن هناك المزيد. حاول رسم مسارات استعراضية لكل مثال، واجمع ملاحظات حول نقاط بداية ونهاية هذه الاستعراضات، وما إذا كانت ممكنة أصلاً. ما الأنماط التي يمكنك إيجادها؟ وما التخمينات التي يمكنك وضعها؟

لغز الغرف الخمس – مشاكل تقاطع الخطوط

توجد العديد من ألغاز تقاطع الخطوط، ولعل هذا اللغز هو الأكثر شيوعًا من هذا النوع. يكمن التحدي في رسم خط متصل يتقاطع مع جميع حواف هذا الرسم التخطيطي مرة واحدة فقط. يوضح المثال التالي مسارًا غير صحيح.

مثّل هذا الرسم البياني بعقد تمثل المناطق الداخلية للمستطيلات، بالإضافة إلى عقدة أخرى تمثل المنطقة الخارجية بأكملها، بينما تمثل الحواف المرور عبر كل جانب من جوانب الرسم. على الرغم من أن الرسم البياني معقد بعض الشيء (ليس من أفضل أعمالي الفنية)، إلا أنه إذا طبقت ما تعلمته عن لغز جسور كونيغسبرغ عليه، ستجده سهل التحليل للغاية.

المسارات على الرسوم البيانية

هذان اللغزان الأولان مثالان على تحديات إيجاد المسارات في الرسوم البيانية. يُحبّ علماء الرياضيات تعريف الأشياء وتسميتها، وهذا ليس استثناءً. يُطلق على المسار الذي يجتاز كل حافة من حواف الرسم البياني مرة واحدة فقط اسم مسار أويلري ، وإذا بدأ المسار وانتهى عند النقطة نفسها، يُطلق عليه اسم دائرة أويلرية.

كما درس أويلر وغيره، وكما ربما قمت بتحليله للتو في اللغزين الأخيرين، فإن مفتاح القدرة على إيجاد المسارات والدوائر الأويلرية هو حساب عدد العقد التي لها درجة فردية.

يمكنكم إنشاء رسوم بيانية جميلة وتحدي بعضكم البعض لإيجاد مسار أويلري. من المفيد جدًا معرفة نقطة البداية والنهاية للمسار. جربوا هذا:

المسار الهاميلتوني هو مسار يمر بكل عقدة مرة واحدة فقط. إذا بدأ المسار وانتهى عند نفس النقطة، فإنه يُسمى دائرة هاميلتونية.

بشكل عام، على عكس المسارات الأويلرية، ليس من السهل معرفة ما إذا كان المسار الهاميلتوني موجودًا لرسم بياني معين.

تُعدّ جولة الفارس لغزًا يُمثّل مثالًا على هذا النوع من التحديات. لنفترض أن لديك فارسًا في لعبة الشطرنج موضوعًا على أحد مربعات رقعة شطرنج أبعادها n×m. هل يُمكن للفارس أن يزور كل مربع من مربعات رقعة الشطرنج مرة واحدة فقط؟ هل يُمكنه العودة إلى نقطة البداية في النهاية؟ يُمكنك تحويل هذه المسألة إلى مسألة مسار هاميلتوني من خلال إنشاء رسم بياني تُمثّل عُقده المربعات الموجودة على الرقعة، ويحتوي على حافة بين عُقدتين إذا كانت هناك حركة للفارس تمر بينهما.

تُعدّ مسألة البائع المتجول (TSP) مثالًا كلاسيكيًا على مسائل المسار الهاميلتوني. لنفترض أن شخصًا ما يرغب في زيارة جميع المدن الواقعة على مسار مبيعات، ولنفترض أيضًا أن الخطوط الواصلة بين بعض هذه المدن تُظهر أوقات السفر (أو المسافات أو التكاليف) بينها. كيف يُمكن إيجاد مسار هاميلتوني يُقلّل إجمالي وقت السفر (أو المسافة أو التكلفة)؟ تتعامل شاحنات التوصيل مع نسخة من هذه المسألة يوميًا.

في هذين الرسمين البيانيين، يُشار إلى كل ضلع بـ"تكلفة" السير عليه. يكمن التحدي في مسألة البائع المتجول في إيجاد مسار هاميلتوني بأقل تكلفة إجمالية ممكنة. يمكنك أنت وطفلك رسم خرائط لبعضكما البعض، وتحدي الآخر لإيجاد أفضل مسار ممكن على الخريطة. استخدم أرقامًا وأحجام خرائط مناسبة لمستوى مهارة طفلك.

المصافحة والمعارف

لنفترض وجود ثمانية أشخاص في حفلة، وتصافح بعضهم. يقدم موقع EFM عدة ألغاز أسبوعية تتناول هذا الموقف. صمم نموذجًا لهذا الموقف باستخدام ثماني عقد، واحدة لكل شخص. ارسم خطًا بين شخصين إذا تصافحا. يمكنك استخدام نفس النموذج حيث تمثل الخطوط أشخاصًا يعرفون بعضهم، أو ربما أشخاصًا تربطهم صلة قرابة.

في نموذج المصافحة، تمثل درجة كل عقدة، أي عدد حوافها، عدد الأشخاص الذين صافحهم ذلك الشخص (بما في ذلك احتمال عدم وجود أي مصافحة لعقدة غير متصلة). أحد ألغازنا يتساءل عما إذا كان من الممكن أن تكون جميع هذه الدرجات مختلفة.

تُثار العديد من التساؤلات حول مجموعات الدرجات الممكنة. هل من الممكن أن تكون جميع الدرجات زوجية أم فردية؟ من الحقائق المثيرة للاهتمام حول جميع الرسوم البيانية أن مجموع جميع الدرجات في الرسم البياني يساوي ضعف عدد الحواف (لماذا؟). لذا، في مسألة المصافحة، يجب أن يكون هناك دائمًا عدد زوجي من الأشخاص الذين يُجرون عددًا فرديًا من المصافحات. ما هي القيود الأخرى؟

لنفترض أن لديك رسمًا بيانيًا لجميع سكان العالم، حيث يرتبط شخصان إذا كانا يعرفان بعضهما. هل يمكنك الانتقال من أي عقدة إلى أي عقدة أخرى في هذا الرسم البياني، أم أنه ينقسم إلى رسوم بيانية منفصلة؟ بالنسبة لجزء متصل من هذا الرسم البياني، ما هو أكبر عدد من الحواف التي يجب عليك قطعها للوصول بين أي شخصين؟ يُطلق على هذا أحيانًا درجة الانفصال بين شخصين. وقد طُبقت هذه الفكرة على الممثلين الذين شاركوا في أفلام معًا، حيث يُخصص لكل ممثل رقم كيفن بيكون.

أشجار العائلة

في نظرية الرسوم البيانية، الشجرة هي رسم بياني متصل لا يحتوي على دورات. بعبارة أخرى، يوجد مسار واحد فقط بين أي عقدتين. يمكنك إنشاء رسم بياني للعلاقات العائلية بربط شخصين إذا كان أحدهما من نسل الآخر. تُسمى هذه الرسوم البيانية عادةً بأشجار العائلة.

يمكنك استكشاف ما سيحدث مع طفلك لو كانت شجرة العائلة شجرة حقيقية بالمعنى المتعارف عليه في نظرية الرسوم البيانية. إذا كانت كذلك، فكم عدد الأفراد في كل مستوى؟ لاحظ أن عدد الأفراد يتضاعف مع كل مستوى (باستخدام العلاقات البيولوجية). بدءًا من فرد واحد، سيكون عدد الأجيال 1، 2، 4، 8، 16، وهكذا. عشرة أجيال للخلف سيكون عددها 1024 فردًا. عشرون جيلًا للخلف سيكون عددها 1024 × 1024 فردًا. بحلول أربعين جيلًا، سيكون لديك عدد من الأفراد يفوق أي عدد وُجد على الإطلاق. هل يستطيع طفلك معرفة الخطأ؟

تلوين الرسوم البيانية

كما يمكنك دراسة خرائط التلوين، يمكنك بالنسبة لرسم بياني معين أن تسأل عن الحد الأدنى لعدد الألوان اللازمة لتلوين عقده بحيث لا يكون لأي حافة نفس اللون عند طرفيها. يُسمى هذا العدد اللوني للرسم البياني.

ثمة ارتباط مباشر بين الخرائط المسطحة والرسوم البيانية المستوية؛ فلنُعرّف عقد الرسم البياني على أنها مناطق الخريطة، ولنُعرّف حافة في الرسم البياني عندما تتشارك منطقتان حدودًا. تنص نظرية الألوان الأربعة على أن أي خريطة مسطحة تحتاج إلى أربعة ألوان على الأكثر، وينطبق هذا أيضًا على الرسوم البيانية المستوية؛ فالعدد اللوني لأي رسم بياني مستوٍ هو أربعة أو أقل. ارسم بعض الرسوم البيانية المستوية، وحاول تلوينها مع طفلك، ولاحظ النتيجة!

في المخص:

كانت هذه جولة سريعة في مواضيع وألغاز نظرية الرسوم البيانية للمبتدئين. بالطبع، اضطررتُ إلى حذف بعض التفاصيل. آمل أن تكونوا أنتم وأطفالكم قد وجدتم بعض الأفكار المفيدة بين هذه الألغاز. سأواصل في الشهر القادم هذه الجولة في مواضيع الرياضيات المتقدمة التي يمكن تبسيطها وجعلها شيقة وممتعة للأطفال الصغار.