تجنب المستطيلات - 2
يمكن أن تُشكّل علامات X في الشبكة زوايا مستطيلات ذات جوانب أفقية ورأسية. تُشكّل علامات X في الشبكة الأولى مستطيلين. مع ذلك، الهدف هو تجنّب تكوين المستطيلات. لذا، وُضعت علامات X في الشبكة الثانية لتجنّب تكوين أي مستطيلات.
THE CHALLENGE
ضع أكبر عدد ممكن من علامات X في هذه الشبكة المكونة من 4 في 4 وتجنب إنشاء أي مستطيلات.
استكشاف
ما هو الحد الأقصى الذي يمكنك الحصول عليه لأحجام الشبكات الأخرى؟ هل تلاحظ أي أنماط في إجاباتك؟
ملاحظة
THE CHALLENGE
يُعدّ حلّ هذه المسألة عموماً مشكلةً صعبةً للغاية وغير محلولة في الرياضيات. مع ذلك، لا ينبغي أن يمنع ذلك الطالب من الخوض فيها وتعلّم الكثير من الأمور الشيقة خلال رحلته.
لنفترض أن الشبكة تحتوي على m صفوف و n أعمدة. في قسم "تجنب المستطيلات - 1"، وجدنا النتائج التالية لأفضل الإجابات.
الصفان 1 و2: كان لدينا m + n – 1 علامة X
ثلاثة صفوف: كان لدينا m + n من علامات X باستخدام مخطط أولي لشبكة 3×3 تشبه المخطط التالي. باستخدام هذا المخطط، إذا كان لدينا 3 صفوف مع أعمدة إضافية، فيمكننا ببساطة إضافة علامة X واحدة في كل عمود جديد.
تطلّبت حالة 3×3 نهجًا مختلفًا عن استراتيجية الصف الواحد أو الصفين، ومن المغري الاعتقاد بأن الأمثلة التي تحتوي على 4 صفوف أو أكثر ستتطلب أيضًا تفكيرًا جديدًا. وبعبارة أخرى، نريد إنشاء مجموعة من الأعمدة لا تشترك أبدًا في صفين يحتويان على علامة X.
تتمثل إحدى الاستراتيجيات في ملء جميع الخانات في العمود الأيسر باستثناء الخانة السفلية، ثم وضع علامة X واحدة في الصف السفلي وعلامة X أخرى في الأعمدة المتبقية. تنجح هذه الطريقة دائمًا، وتُنتج (م - ١) + ٢ × (م - ١) = ٣ × (م - ١) علامة X لشبكة مربعة من م × م. يمكن توسيع هذه الطريقة لملء المربع (بإضافة علامة X واحدة في كل عمود جديد) لتشمل أي شبكة تحتوي على م صفوف، ما يُعطي ٣ × (م - ١) + (ن - م) = ن + ٢م - ٣ علامات X، عندما م < ن. هذه الصيغة صالحة لجميع الإجابات لأي شبكة مهما كان حجمها (تحتوي على أكثر من صف واحد) حتى الآن.
استكشاف
يُظهر البحث عن أفضل الإجابات عبر الإنترنت أنه يمكنك عمل 12 علامة X لحالة 5 × 5 (والتي يمكنك الحصول عليها باستخدام النمط)، ثم 16 علامة X لحالة 6 × 6 (الموضحة هنا).
بعد ذلك، تكون الأرقام التي تبدأ من 7 في 7 بالترتيب هي: 21، 24، 29، 34، 39، 45، 52، 56، 61، 67، 74، 81، 88، 96، 105، 108، 115، و122. وقد أجرى علماء الرياضيات العديد من الدراسات الشيقة حول كيفية عمل هذه الأرقام، ويمكن لعلماء الرياضيات لديكم الاستمتاع بها أيضًا!
