Misir Kəsrləri – 4
Təxminən 4000 il əvvəl qədim misirlilər bütün fraksiyalarının formada olduğu bir sistem inkişaf etdirdilər.
1/n. Bunlara deyilir Misir KəsrləriBəzi Misir Kəsrləri iki ədədin fərqi kimi yazıla bilər.
Misir Kəsrləri. ⅓ = ½ – ⅙ buna bir nümunədir.
ÇƏTİNLİK
Hansı Misir Kəsrləri yalnız iki Misir Kəsrinin fərqi kimi yazıla bilər?
birtərəfli? Hansıları tam iki şəkildə yazıla bilər? İkidən çox yolu olanlar varmı?
1/N = 1/A – 1/B
Qeydlər
ÇƏTİNLİK
Qeyd etmək lazımdır ki, istənilən n üçün məhdud sayda mümkün həllər mövcuddur. Əgər 1/N = 1/A – 1/B olarsa, onda 1/A – 1/N = 1/B > 0 olar. 1/A – 1/N > 0 N > A deməkdir. Beləliklə, 1 < A < N, yəni ən çoxu N – 2 həll var və onları bir qədər yorucu şəkildə həmin diapazondakı A-nın bütün dəyərlərini yoxlamaqla tapmaq olar.
Cüt ədədlər olan məxrəclər üçün, məsələn, 2d üçün, həmişə 1/2d = 1/d – 1/2d olur.
Fərqləri çıxarmağın başqa bir yolu toplama düsturu ilə başlamaqdır. Ən sadə düsturumuz 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]-dir. Bu, 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)] olur. Bunun daha ümumi versiyası 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)]-dir, bu da 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] olur, burada ab > 1.
Beləliklə, məxrəc a(a+b) kimi vurula bildikdə, a və b müsbət, ab > 1 olduqda, fərqimiz olacaq. Xüsusilə, hər n > 2 ədədi n = 1 x (1 + (n-1)) kimi yazıla bildiyindən, hər Misir kəsri ən azı bir şəkildə fərq kimi yazıla bilər. Budur bir neçə nümunə:
- ⅓: a = 1, b = 2 ½ – ⅙ verir
- ¼: a = 1, b = 3 ⅓ – 1/12 verir
- ⅕: a = 1, b = 4 ¼ – 1/20 verir
- ⅙: a = 1, b = 5 ⅕ – 1/30 verir; a = 2, b = 1 ½ – ⅓ verir
- 1/7: a = 1, b = 6 ⅙ – 1/42 verir
- ⅛: a = 1, b = 7 1/7 – 1/56 verir; a = 2, b = 2 ¼ – 1/8 verir
Bu, hər şey deyil. Məsələn, ⅙ = ¼ – 1/12 nisbətini qaçırdıq.
Cəbrə nəzər salsaq, a > 1 və b > a > 1 üçün 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab olduğunu düşünək. Məxrəcləri təmizləmək ab = n(ba) verir və n üçün həll etmək n = ab/(ba) verir. Bunu işləyən a və b tapa bilsək, fərqi çıxara biləcəyik.
Gəlin bu baxımdan bir neçə nümunə üçün tam həllərə baxaq və bir nümunə aşkar edə biləcəyimizi görək.
- 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
- 4 = 2 x 4 / (4 -2) = 3 x 12 / (12 – 3)
- 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
- 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
- 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
- 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)
Bu nümunələrə baxdıqda, n sadə ədəd olduqda yalnız bir həllin olduğu ehtimal olunur. Gəlin bunun səbəbini görək. Əgər n sadə ədəddirsə və a < n olarsa, onda n = axb / (b – a) b-ni n-in qatı olmağa məcbur edir, məsələn, b = nx c. Onda n = ax nc / (nc – a) deyir ki, ac / (nc – a) = 1, yəni ac = nc – a. Bunu yenidən yazanda nc = a(c + 1) alınır. n sadə ədəd olduğundan, c + 1 = n və a = c = n – 1 alırıq. Beləliklə, a = n – 1 və b = n(n-1) yeganə həlldir.