Запълване на триъгълници с триъгълници
Ето как да запълните един голям триъгълник с 1, 4 или 7 триъгълника.
ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВОТО
Намерете други триъгълници, които трябва да се преброят за запълване на голям триъгълник. Можете ли да го направите за 2, 3, 5, 6, 8, 9 или 10 триъгълника?
ПРОУЧВАНЕ
Когато е възможно, намерете повече от един начин да получите някои от тези числа.
бележки
ПРЕДИЗВИКАТЕЛСТВОТО
Ето един систематичен начин за изграждане на различни бройки.
Квадрати: Добро начало е с квадратните числа. Лесно е да се запълни триъгълник с 1, 4 и 9 триъгълника, като се използва правилният шаблон, използван в следващата илюстрация.
Четни числа: След известно експериментиране можете да създадете модели за 6, 8, 10 или всяко друго по-голямо четно число, както следва. Започнете с голям триъгълник и след това поставете по-малки триъгълници по едната страна.
Замяна на един триъгълник: Следващата голяма стъпка е да се види, че всеки един триъгълник в решение може да бъде заменен с всяко друго съществуващо решение. Например, това беше направено при създаването на модела за 7 във въведението – триъгълникът в центъра за „4“ беше заменен с четири по-малки триъгълника, за да се получи „7“.
Всеки път, когато един триъгълник бъде заменен с четири триъгълника, това ще увеличи общия брой триъгълници с 3. Започнете със списъка с решения, използвайки квадратни числа и четни числа: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 и 16, и след това добавете 3 към всеки запис в този списък, за да получите 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 и 17. Комбинирането на тези два списъка дава всички възможности до 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 и 17. Използвайки тези идеи, всяко число над 17 е достатъчно лесно и така стигаме до заключението, че:
Отговор: Всяко число е възможно с изключение на 2, 3 и 5.
ПРОУЧВАНЕ
Някои от тези числа могат да бъдат получени по повече от един начин. Например, 9 може да се получи като модел 3 по 3 или като 6 плюс още три. Разбира се, има и други интересни начини за запълване на триъгълник, които можете да откриете.