সপ্তাহের ধাঁধা

চ্যালেঞ্জ

সাধারণভাবে এর সমাধান করা গণিতের একটি অত্যন্ত কঠিন ও অমীমাংসিত সমস্যা। তবে, এর জন্য কোনো শিক্ষার্থীর এটি নিয়ে ঘাঁটাঘাঁটি করা এবং সেই সাথে অনেক আকর্ষণীয় জিনিস শেখা থেকে বিরত থাকা উচিত নয়।

ধরা যাক, গ্রিডটিতে m সংখ্যক সারি এবং n সংখ্যক কলাম আছে। ‘আয়তক্ষেত্র পরিহার – ১’-এ আমরা সেরা উত্তরগুলোর জন্য নিম্নলিখিত ফলাফলগুলো পেয়েছিলাম।

১ ও ২ সারি: আমাদের m + n – 1 টি X ছিল

৩টি সারি: একটি ৩ বাই ৩ গ্রিডের জন্য নিচের চিত্রের মতো দেখতে একটি প্রাথমিক ডায়াগ্রাম ব্যবহার করে আমাদের m + n টি X ছিল। ঐ ডায়াগ্রামটি ব্যবহার করে, যদি আমাদের আরও কলাম সহ ৩টি সারি থাকতো, তাহলে আমরা প্রতিটি নতুন কলামে কেবল একটি করে X যোগ করতে পারতাম।

৩ বাই ৩ ক্ষেত্রের জন্য ১ এবং ২ সারির কৌশল থেকে ভিন্ন দৃষ্টিভঙ্গির প্রয়োজন ছিল, এবং এটা ভাবা স্বাভাবিক যে ৪ বা তার বেশি সারির উদাহরণগুলোর জন্যও নতুন চিন্তাভাবনার প্রয়োজন হবে। সহজ কথায় বলতে গেলে, আমরা এমন একগুচ্ছ কলাম তৈরি করতে চাই, যেগুলো কখনোই X থাকা কোনো একজোড়া সারিকে ভাগ করে নেবে না।

একটি কৌশল হলো, বামদিকের কলামের নিচের বর্গক্ষেত্রটি ছাড়া বাকি সবকিছু পূরণ করে দেওয়া, এবং তারপর বাকি কলামগুলোর নিচের সারিতে একটি X ও অন্য একটি সারিতে আরেকটি X বসানো। এটি সবসময় কাজ করবে এবং একটি m বাই m বর্গাকার গ্রিডের জন্য (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) টি X তৈরি করবে। বর্গক্ষেত্রটি পূরণ করার এই পদ্ধতিটি (প্রতিটি নতুন কলামে একটি করে X যোগ করে) m সারিবিশিষ্ট যেকোনো কিছুর জন্য প্রসারিত করা যেতে পারে, যার ফলে 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 টি X পাওয়া যাবে, যখন m < n। এই সূত্রটি এখন পর্যন্ত যেকোনো আকারের (একাধিক সারিবিশিষ্ট) গ্রিডের সমস্ত উত্তরের জন্য কাজ করে।

অন্বেষণ

অনলাইনে সেরা উত্তরগুলো খুঁজলে দেখা যায় যে, ৫ বাই ৫ ক্ষেত্রের জন্য (যা প্যাটার্নটি ব্যবহার করে পাওয়া যায়) ১২টি X এবং ৬ বাই ৬ ক্ষেত্রের জন্য (এখানে দেখানো) ১৬টি X দেওয়া যায়।

এরপর, ৭ বাই ৭ থেকে শুরু করে ক্রমানুসারে সংখ্যাগুলো হলো: ২১, ২৪, ২৯, ৩৪, ৩৯, ৪৫, ৫২, ৫৬, ৬১, ৬৭, ৭৪, ৮১, ৮৮, ৯৬, ১০৫, ১০৮, ১১৫, এবং ১২২। এই সংখ্যাগুলো কীভাবে কাজ করে তা নিয়ে গণিতবিদরা অনেক আকর্ষণীয় গবেষণা করেছেন, এবং আপনার গণিতবিদরাও এটি নিয়ে অনেক মজা করতে পারেন!