সমান যোগফল – ২
চ্যালেঞ্জ
এখানে চারটি বৃত্তকে একটির উপর আরেকটি বসিয়ে একটি চিত্র তৈরি করা হয়েছে। এই বৃত্তগুলো আটটি অঞ্চল তৈরি করে। আটটি অঞ্চলের প্রতিটিতে ১ থেকে ৮ পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যা ঠিক একবার করে এমনভাবে বসান, যাতে প্রতিটি বৃত্তের সংখ্যাগুলোর যোগফল সমান হয়।
অন্বেষণ
আপনি কতগুলো ভিন্ন উত্তর খুঁজে পেতে পারেন? আপনার কি মনে হয় এর চেয়েও বেশি উত্তর আছে? অন্য সংখ্যার পরিসর ব্যবহার করলে কী হবে? ছেদকারী বৃত্ত নিয়ে এরকম আরও কোনো মজার সমস্যা আছে কি?
নোট
চ্যালেঞ্জ ও অন্বেষণ
প্রথমে সব বৃত্তের সাধারণ যোগফলের সম্ভাব্য মানগুলো নির্ধারণ করুন। ধরা যাক, Sum হলো সেই মান। ধরা যাক, A, B, C, এবং D হলো সেই চারটি অঞ্চলের মান যেখানে দুটি বৃত্ত ছেদ করে। চারটি বৃত্তের যোগফল হলো 4 x Sum, এবং এটি 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D-এর সমান। তাহলে আমরা সমীকরণটি পাই 4 x Sum = 36 + A + B + C + D, সুতরাং Sum = 9 + (A + B + C + D) / 4। A + B + C + D-এর সর্বনিম্ন মান হতে পারে 1 + 2 + 3 + 4 = 10। এই মানটি বিভাজ্য হতে হবে, তাই এর সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মান হলো 12, যার অর্থ হলো সর্বনিম্ন সম্ভাব্য মানটি হলো Sum = 9 + 12/4 = 12।
লক্ষ্য করুন যে, ৯ থেকে সমস্ত ভুক্তি বিয়োগ করে যেকোনো সমাধানকে অন্য একটি সমাধানে পরিণত করা যায়। এটি করলে আগের যোগফলটি ২৭ – যোগফল-এ পরিণত হবে। ফলস্বরূপ, যোগফলের জন্য একমাত্র সম্ভাব্য মানগুলি হলো ১২, ১৩, ১৪ এবং ১৫। যেহেতু ১২ এবং ১৫ পরস্পর সম্পর্কযুক্ত, এবং ১৩ এবং ১৪ পরস্পর সম্পর্কযুক্ত, তাই আমাদের কেবল ১২ এবং ১৩-এর সমাধানগুলি পরীক্ষা করতে হবে।
এখানে ১২ এবং ১৩ মানের যোগফলের সমাধান দেওয়া হলো। দেখা যাচ্ছে যে, এই দুটি যোগফলের জন্য এগুলোই একমাত্র সমাধান।
লক্ষ্য করুন যে, পরস্পর স্পর্শ না করা বৃত্তগুলোর কেন্দ্রের সংখ্যাগুলোর যোগফল একই হয়। উদাহরণস্বরূপ, বামদিকের চিত্রে, ৮ + ৪ = ৫ + ৭। সামান্য বীজগণিতের সাহায্যে প্রমাণ করুন যে এটি সর্বদা ঘটে। ধরা যাক, বিপরীত বৃত্ত দুটির কেন্দ্রের মান হলো K এবং L, এবং অন্য দুটি মান হলো M এবং N। যদি আমরা K এবং L-এর জন্য বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফল যোগ করি, তাহলে আমরা পাই ২ x যোগফল = K + L + (A + B + C + D)। একইভাবে, M এবং N-এর জন্য বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফল যোগ করলে পাওয়া যায় ২ x যোগফল = M + N + (A + B + C + D)। এর ফলে K + L = M + N হয়।
আরও লক্ষ্য করুন যে, যেহেতু 4 x Sum = 36 + A + B + C + D, আমরা পাই 2 x Sum = M + N + (4 x Sum – 36)। এটিকে পুনর্লিখন করলে আমরা পাই M + N = 36 – 2 x Sum। আমাদের Sum-এর চারটি মান, ১২ থেকে ১৫ পর্যন্ত, এর জন্য M + N-এর মানগুলো হলো ১২, ১০, ৮ এবং ৬।
যেহেতু 12 পাওয়ার একমাত্র উপায়গুলো হলো 12 = 4 + 8 = 5 + 7, তাই Sum = 12 এর জন্য উপরের সমাধানটিই একমাত্র সমাধান। যদিও Sum = 13 এর জন্য 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 থেকে মনে হতে পারে যে আরও সম্ভাবনা আছে, (2, 8), (3, 7), এবং (4, 6) এই তিনটি সম্ভাব্য জোড় দ্রুত পরীক্ষা করলে দেখা যায় যে Sum = 13 এর জন্য উপরের সমাধানটিই একমাত্র সমাধান।