এপ্রিল 2023

উপভোগ করার জন্য আরও গণিতের ধাঁধা!

এই মাসে আমি জেমস ট্যানটনের দুটি বই— ‘উইদাউট ওয়ার্ডস’ এবং ‘মোর উইদাউট ওয়ার্ডস’ —এর ধাঁধাগুলো তুলে ধরছি । প্রতিটি বইতে ৩৬টি করে গণিতের ধাঁধা রয়েছে, যেগুলো সম্পূর্ণ শব্দহীনভাবে বর্ণনা করা হয়েছে। কেবল চিত্র ব্যবহার করে পাঠককে ধাঁধাটি সমাধান করতে হয়। এই ধাঁধাগুলোর কয়েকটি বিভিন্ন রূপে আপনি তার ওয়েবসাইট , তার ‘গ্লোবাল ম্যাথ প্রজেক্ট’ প্রকল্প এবং তার টুইটার @jamestanton- এ খুঁজে পেতে পারেন ।

শব্দ বা সুস্পষ্ট নির্দেশনা ছাড়া ধাঁধা উপস্থাপনের একটি আকর্ষণীয় দিক হলো—এগুলোর কোনো অনুবাদের প্রয়োজন হয় না—এভাবেই গণিত আবিষ্কৃত হয়। আপনি অনেকগুলো উদাহরণ দেখে, সেগুলোর ব্যাপারে কী সত্য হওয়া উচিত বলে মনে করেন তা স্থির করে, এবং তারপর সেই ধাঁধা বা ফলাফলটির জট খুলতে লেগে পড়েন—এর মাধ্যমে আপনি একটি নতুন সম্ভাবনাময় প্যাটার্ন আবিষ্কার করেন।

আমি প্রতিটি ধাঁধাকে একটি বইয়ের রেফারেন্স, WW (শব্দ ছাড়া) বা MWW (শব্দ ছাড়া আরও), এবং তার পরে ধাঁধার নম্বর ব্যবহার করে উল্লেখ করব। জায়গার অভাবে, আমি এই ধাঁধাগুলো বর্ণনা করার জন্য শব্দ ব্যবহার করব। এগুলোর মধ্যে কয়েকটিকে আপনারা ধাঁধা বা তার বিভিন্ন রূপ হিসেবে চিনতে পারেন, যা আমরা আমাদের 'EFM সপ্তাহের ধাঁধা' সংগ্রহে যুক্ত করেছি।

ধরা যাক , আপনার কাছে বর্গক্ষেত্র দিয়ে তৈরি একটি আয়তাকার গ্রিড এবং একটি চিহ্নিত প্রারম্ভিক বিন্দু আছে। কখন এমন একটি অবিচ্ছিন্ন পথ থাকা সম্ভব, যা প্রারম্ভিক বিন্দু থেকে শুরু হয়ে প্রতিটি বর্গক্ষেত্রকে ঠিক একবার অতিক্রম করে?

এই প্রথম বোর্ডটি একটি ৩ বাই ৪ মাপের বোর্ড যার শুরুর অবস্থানটি কার্যকর, এবং এখানে আরও একটি ৩ বাই ৫ মাপের বোর্ড আছে যার শুরুর অবস্থানটি কার্যকর নয়। এই বোর্ডগুলোতে কোন শুরুর অবস্থানগুলো কার্যকর? অন্যান্য আকারের বোর্ডের ক্ষেত্রে কী ঘটে? আপনি কি এই ফলাফলগুলোর মধ্যেকার কোনো ধরন বা প্যাটার্ন বর্ণনা করতে পারেন?

WW19,23,25 গত মাসে আমি ফিবোনাচ্চি সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত কিছু ধাঁধার সংক্ষিপ্ত বর্ণনা দিয়েছিলাম। এখানে সেগুলোর মধ্যে তিনটি দেওয়া হলো। সময় নিয়ে করলে, এগুলোর প্রতিটিই পরিকল্পিতভাবে গণনা করা এবং প্যাটার্ন খোঁজার একটি মজার সুযোগ করে দিতে পারে – আর আপনার শিশু যদি আগে থেকেই ফিবোনাচ্চি সংখ্যা সম্পর্কে জানে, তাহলে তো কথাই নেই।
WW19-এ জিজ্ঞাসা করা হয়েছে, ১০টি সিঁড়ি বেয়ে ওঠার কতগুলো উপায় আছে, যদি আপনি এক বা দুটি করে সিঁড়ি বেয়ে উঠতে পারেন। WW23-এ জিজ্ঞাসা করা হয়েছে, ১০টি বর্গক্ষেত্রের একটি সারি পূরণ করার কতগুলো উপায় আছে, যদি আপনি সেগুলো এক বা দুটি করে (পাশের) বর্গক্ষেত্র পূরণ করতে পারেন। WW25-এ জিজ্ঞাসা করা হয়েছে, ১০টি গর্ত পাথর দিয়ে পূরণ করার কতগুলো উপায় আছে, যদি আপনাকে পাশের গর্তে পাথর রাখার অনুমতি না দেওয়া হয় (কোনো পাথর ব্যবহার না করার সম্ভাবনাটিও অবশ্যই অন্তর্ভুক্ত করতে হবে)।
WW24 আপনার কাছে যদি কয়েকটি বর্গক্ষেত্র থাকে, তাহলে কখন ১ বাই ২ ডমিনো দিয়ে বর্গক্ষেত্রগুলোকে নিখুঁতভাবে ঢাকা সম্ভব?

এই ধাঁধাটির চিরাচরিত সংস্করণে একটি দাবা বোর্ড থেকে এক, দুই বা তার বেশি ঘর সরিয়ে ফেলতে হয়। স্বাভাবিকভাবেই, যদি ঘরের সংখ্যা বিজোড় হয়, তবে এর কোনো সমাধান নেই। যখন দাবা বোর্ডের কোণাগুলো থেকে দুটি ঘর সরানোর কথা ভাবা হয়, তখন বিষয়টি আরও জটিল হয়ে ওঠে – কখনও কখনও তা ঢাকা সম্ভব হয়, আবার কখনও হয় না!

অবশ্যই, আপনি আরও মজা করতে পারেন এবং সৃজনশীল হয়ে ঢাকার জন্য অদ্ভুত আকারের বর্গাকার বোর্ড তৈরি করতে পারেন।
MWW11 ধরা যাক, আপনার কাছে ৫টি পেনি আছে যেগুলোর পাশ উল্টো দিকে রয়েছে। যদি আপনি প্রতিবারে যেকোনো ৩টি মুদ্রা উল্টানোর জন্য বেছে নেন, তাহলে আপনি মাত্র ৩ বারেই সব পেনিকে উল্টো দিকে ঘুরিয়ে ফেলতে পারবেন, যেমনটা দেখানো হয়েছে।

ধরা যাক, আপনার কাছে ৯টি পেনি আছে যেগুলোর পাশ ওপরে এবং আপনাকে প্রতিবারে যেকোনো ৫টি পেনি উল্টানোর অনুমতি দেওয়া হয়েছে। এতে সর্বনিম্ন কতবার উল্টাতে হবে?

পয়সা ও তাস ছোড়ার অন্যান্য সংমিশ্রণের ক্ষেত্রে কী হয়? কখন শেষ পর্যন্ত সবগুলো ছোড়া সম্ভব এবং কখন তা অসম্ভব? যখন এটি সম্ভব, তখন কি আপনি ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারেন যে এর জন্য সর্বনিম্ন কতবার ছোড়া লাগবে?
MWW20 এখানে L-আকৃতির টুকরোর তিনটি উদাহরণ দেওয়া হলো। প্রথমটি একটি একক টুকরো। দ্বিতীয়টি ৪টি ছোট L-আকৃতির টুকরো দিয়ে তৈরি, এবং তৃতীয়টি ৯টি ছোট L-আকৃতির টুকরো দিয়ে তৈরি। আপনি কি ১৬টি টুকরোর জন্য এটি করতে পারবেন? ২৫টি টুকরোর জন্য? অন্যান্য বর্গসংখ্যার জন্য? সফল হতে হলে, সংখ্যাটি কি বর্গ হতেই হবে?

এটি গ্রাফ পেপারের মতো ছক কাটা কাগজের উপর খেলা সবচেয়ে সহজ। বিকল্পভাবে, আপনি L-আকৃতির টুকরো কেটে নিতে পারেন এবং আপনার শিশু সেগুলোকে নাড়াচাড়া করে দেখতে পারে যে সেগুলো কীভাবে একসাথে জোড়া লাগে।
এই ধাঁধাটিতে L-আকৃতির টুকরা ব্যবহার করা হয়েছে, কিন্তু অন্যান্য আকৃতির টুকরা ব্যবহার করেও একই ধরনের প্রশ্ন করা যেতে পারে।