Izbjegavanje pravougaonika – 2
X-ovi u mreži mogu postati uglovi pravougaonika sa horizontalnim i vertikalnim stranicama. X-ovi u ovoj prvoj mreži formiraju dva pravougaonika. Međutim, cilj je izbjeći stvaranje pravougaonika. X-ovi u drugoj mreži su postavljeni tako da se izbjegne formiranje bilo kakvih pravougaonika.
IZAZOV
Postavite što više X-ova u ovu mrežu 4 puta 4 i izbjegavajte stvaranje pravougaonika.
ISTRAŽIVANJE
Koji je maksimalni broj koji možete imati za druge veličine mreža? Vidite li neke obrasce u svojim odgovorima?
bilješke
IZAZOV
Rješavanje ovoga općenito je vrlo težak, neriješen problem u matematici. Međutim, to ne bi trebalo spriječiti učenika da se igra s tim i usput nauči mnogo zanimljivih stvari.
Pretpostavimo da mreža ima m redova i n kolona. U Izbjegavanju pravougaonika – 1, pronašli smo sljedeće rezultate za najbolje odgovore.
1. i 2. red: Imali smo m + n – 1 X
3 reda: Imali smo m + n X-ova koristeći početni dijagram za mrežu 3 puta 3 koja je izgledala kao sljedeći dijagram. Koristeći taj dijagram, ako bismo imali 3 reda s više kolona, mogli bismo dodati samo jedan X u svaku novu kolonu.
Slučaj 3 puta 3 zahtijevao je drugačiji pogled od strategije s 1 i 2 reda, i primamljivo je pomisliti da će primjeri s 4 ili više redova također zahtijevati neko novo razmišljanje. Da navedemo očigledno, želimo kreirati kolekciju kolona koje nikada ne dijele par redova s X-ovima u njima.
Jedna strategija je popuniti sve u krajnjoj lijevoj koloni osim donjeg kvadrata, a zatim ostale kolone imaju jedan X u donjem redu i jedan X u drugom redu. Ovo će uvijek funkcionirati i daje (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X-ova za kvadratnu mrežu dimenzija m x m. Ova metoda popunjavanja kvadrata se zatim može proširiti (dodavanjem jednog X-a u svaku novu kolonu) na bilo šta sa m redova da bi se dobilo 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X-ova, kada je m < n. Ova formula do sada funkcionira za sve odgovore za mrežu bilo koje veličine (s više od 1 reda).
ISTRAŽIVANJE
Traženje najboljih odgovora na internetu pokazuje da možete napraviti 12 X-ova za kutiju 5 x 5 (koju možete dobiti pomoću uzorka), a zatim 16 X-ova za kutiju 6 x 6 (prikazano ovdje).
Nakon toga, brojevi koji počinju od 7 puta 7 redom su: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 i 122. Matematičari su proveli mnogo zanimljivih istraživanja o tome kako ovi brojevi funkcionišu, a i vaši matematičari se mogu dobro zabaviti s tim!
