Pronalaženje kvadrata – 3
U ovoj mreži crvenom bojom su nacrtana dva kvadrata dimenzija 1 x 1 i jedan kvadrat dimenzija 2 x 2 sa horizontalnim i vertikalnim stranicama.
IZAZOV
Pronađite sve različite veličine kvadrata koje možete u ovoj mreži. Imajte na umu da postoje neki kvadrati koji to čine ne imaju horizontalne i vertikalne stranice. Za svaku veličinu kvadrata koju pronađete, koja je njegova površina? Kada znate njegovu površinu, koja je dužina njegove stranice?
ISTRAŽIVANJE
Možete li otkriti različite metode za pronalaženje ovih površina? Možete li pronaći formulu za dužinu stranice koristeći samo opis jedne stranice?
bilješke
IZAZOV I ISTRAŽIVANJE
Pronalaženje površine kvadrata s horizontalnim i vertikalnim stranicama je dovoljno jednostavno. Postoje četiri takva kvadrata veličine 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3 i 4 x 4, s površinama 1, 4, 9 i 16.
Ostali kvadrati su malo složeniji. Cilj je izrezati regiju na dijelove čija nam je površina poznata. Alternativno, možemo okružiti kvadrat većim kvadratom i pogledati dijelove unutar njega.
Pogledajmo kvadrat formiran stranicom koja ide preko tri i naviše za jedan.
Površinu možemo pronaći tako što ćemo četiri unutrašnja plava pravougla trougla spojiti s bijelim kvadratom. To daje površinu od 4 x (½ x 3 x 1) + 2 x 2 = 6 + 4 = 10. Dužina stranice će biti kvadratni korijen iz 10. Površinu možemo pronaći i tako što ćemo od velikog vanjskog kvadrata oduzeti četiri zelena pravougla trougla. To daje površinu od 4 x 4 – (4 x (½ x 3 x 1)) = 16 – 6 = 10, baš kao i prije.
Sličan postupak se može koristiti za bilo koji od dijagonalnih kvadrata.
Nakon što uradi nekoliko ovakvih zadataka, zainteresovani učenik može primijetiti obrazac u ovome. Algebra vaših učenika možda nije dorasla ovome, ali obrazac s brojevima, ako je prikazan u tabeli, i dalje se može vidjeti umjesto korištenja slova. Neka je "a" iznos za koji stranica ide udesno, a "b" iznos za koji stranica ide prema gore. Pronalaženje površine iznutra svodi se na sabiranje 4 x (½ xaxb) + (a – b) x (a – b), što je 𝑎² + 𝑏². Pronalaženje površine izvana daje (a + b) x (a + b) – 4 x (½ xaxb), što se pojednostavljuje na isti rezultat.
Ono što smo uradili jeste da smo pronašli dva dokaza za Pitagorin teorem!