Postavljanje pravougaonika na pločice
Imate dvije zagonetke. Za pravougaonik dimenzija 1 puta n, na koliko načina možete popuniti ga mješavinom kvadrata 1 puta 1 i pravougaonika 1 puta 2? Za pravougaonik dimenzija 2 puta n, na koliko načina možete ga popuniti pravougaonicima 1 puta 2?
IZAZOV
Zašto ove dvije zagonetke daju iste odgovore? Koji su odgovori kada su pravougaonici koji se popunjavaju dugi 10? Šta je sa kada su dugi 20?
ISTRAŽIVANJE
Po čemu su ova dva problema slična jedan drugom i ranijim zagonetkama? Kako se stvari mijenjaju u zagonetki 1 puta n ako umjesto toga koristimo dijelove 1 puta 1 i 1 puta 3? Kako se stvari mijenjaju u zagonetki 1 puta n ako koristimo dijelove 1 puta 1, 1 puta 2 i 1 puta 3?
bilješke
IZAZOV
Saznati kako primijeniti ranije rezultate na dio ili cijelu novu slagalicu je moćna vještina.
Ove dvije slagalice su potpuno iste prirode. Vertikalni dijelovi u pravougaoniku 2 x n odgovaraju dijelovima 1 puta 1 u pravougaoniku 1 x n, a horizontalni dijelovi u pravougaoniku 2 x n odgovaraju dijelovima 1 puta 2 u pravougaoniku 1 x n. Dakle, zapravo nema razlike između dvije slagalice.
Također, slagalica s pravokutnikom 1 x n je potpuno ista kao slagalica s koracima u "Fibonacci – 2". Korak po korak je kao slaganje kvadrata 1 puta 1, a dva koraka odjednom je kao slaganje pravokutnika 1 puta 2. Obje slagalice su iste, tako da su analiza i rezultati isti.
ISTRAŽIVANJE
Ako koristimo pravougaonike dimenzija 1 puta 1 i 1 puta 3, mnogo toga se mijenja. Pogledajte prvih nekoliko vrijednosti i razmislite kako se izračunavaju. Za prvih nekoliko vrijednosti dobijamo 1, 1, 2, 3, 4, 6 i 9. Općenito, sljedeća vrijednost je zbir trenutne vrijednosti i vrijednosti dva koraka prije nje. Dovoljno je jednostavno izračunati, ali to više nije Fibonnacijev niz.
Ako koristimo 1 puta 1, 1 puta 2 i 1 puta 3, stvari se mijenjaju još dramatičnije. Sada je prvih nekoliko vrijednosti dato sa 1, 2, 4, 7, 13 i 24. Sljedeća vrijednost u nizu je zbir prethodne tri vrijednosti.
Nizovi poput ovog koji definiraju svoje sljedeće članove skupom formula koja uključuje prethodne članove nazivaju se rekurzivni nizovi. Fibonaccijevi brojevi nisu jedini rekurzivni niz, ali su vjerojatno najpoznatiji.