Vyhýbání se obdélníkům – 2
X v mřížce se mohou stát rohy obdélníků s vodorovnými a svislými stranami. X v této první mřížce tvoří dva obdélníky. Cílem je však zabránit vzniku obdélníků. X v druhé mřížce jsou umístěna tak, aby se zabránilo vzniku obdélníků.
VÝZVA
Do této mřížky 4 x 4 umístěte co nejvíce křížků a vyhněte se vytváření obdélníků.
PRŮZKUM
Jaký je maximální počet, který můžete mít pro jiné velikosti mřížek? Vidíte ve svých odpovědích nějaké vzorce?
Poznámky
VÝZVA
Řešit tento problém obecně je v matematice velmi obtížný a nevyřešený. To by však nemělo studenta odradit od toho, aby si s ním hrál a učil se přitom spoustu zajímavých věcí.
Předpokládejme, že mřížka má m řádků a n sloupců. V části Vyhýbání se obdélníkům – 1 jsme pro nejlepší odpovědi našli následující výsledky.
1. a 2. řada: Měli jsme m + n – 1 křížků
3 řádky: Měli jsme m + n křížků s použitím počátečního diagramu pro mřížku 3 x 3, který vypadal jako následující diagram. S použitím tohoto diagramu, pokud bychom měli 3 řádky s více sloupci, můžeme jednoduše přidat jeden křížek do každého nového sloupce.
Případ 3 x 3 vyžadoval jiný pohled než strategie s 1 a 2 řádky a je lákavé si myslet, že příklady se 4 a více řádky budou také vyžadovat nové myšlení. Abychom to uvedli na pravou míru, chceme vytvořit kolekci sloupců, které nikdy nesdílejí dvojici řádků s křížky.
Jednou ze strategií je vyplnit vše v levém sloupci kromě spodního čtverce a poté do zbývajících sloupců vložit jeden křížek (X) v dolním řádku a jeden křížek v dalším řádku. To bude vždy fungovat a výsledkem bude (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) křížků pro čtvercovou mřížku o rozměrech m x m. Tuto metodu vyplňování čtverce lze poté rozšířit (přidáním jednoho křížku do každého nového sloupce) na cokoli s m řádky, čímž získáme 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 křížky, když m < n. Tento vzorec funguje pro všechny odpovědi pro mřížku jakékoli velikosti (s více než 1 řádkem) doposud.
PRŮZKUM
Hledání nejlepších odpovědí online ukazuje, že pro pouzdro 5 x 5 (které můžete získat pomocí vzoru) můžete použít 12 křížků a poté 16 křížků pro pouzdro 6 x 6 (jak je zde znázorněno).
Poté následují čísla začínající 7 krát 7 v pořadí: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 a 122. Matematici provedli mnoho zajímavých výzkumů, jak tato čísla fungují, a vaši matematici si s tím také užijí spoustu zábavy!
