Stejné součty – 2
VÝZVA
Zde je diagram vytvořený překrytím tří kruhů. Překrývající se kruhy vytvářejí šest oblastí. Do každé ze šesti oblastí vložte číslo, přičemž každé z čísel od 1 do 6 použijte právě jednou tak, aby součet čísel v každém kruhu byl stejný.
PRŮZKUM
Kolik různých odpovědí dokážete najít? Jak víte, že jste je všechny našli?
Poznámky
VÝZVA A PRŮZKUM
Zde jsou čtyři řešení. Abychom pochopili, proč jsou to jediná řešení, nechť A, B a C jsou tři oblasti, kde se protínají dva kruhy, a nechť Suma je společný součet všech tří kruhů. Vypočítejte celkový součet dvěma způsoby. Jako součet tří kruhů je součet 3 x Suma. Jako součet všech šesti čísel plus A, B a C je součet 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. Tyto dvě věci jsou si rovny, takže nám to dává 3 x Suma = 21 + A + B + C. Vydělením 3 dostaneme Suma = 7 + (A + B + C)/3.
Aby bylo součet v této poslední rovnici celé číslo, musí být A + B + C dělitelné 3. To umožňuje pouze čtyři možnosti pro A + B + C – je to buď 6, 9, 12 nebo 15 a odpovídající hodnoty pro součet jsou 9, 10, 11 nebo 12.
Čtyři zde uvedená řešení mají součet hodnot 9, 10, 11 a 12. Jak uvidíme, toto jsou všechna řešení!
Abychom si ušetřili práci, všimněte si, že pokud vezmeme jedno řešení a odečteme všechny položky od 7, dostaneme další řešení. Všimněte si také, že nové řešení bude mít součet, který je 21 – (starý součet). Řešení pro součet 9 a 10 nám tedy dávají řešení pro součet 11 a 12.
Pokud A + B + C = 6, pak A, B a C jsou 1, 2 a 3 a součet = 9. To je řešení vlevo nahoře.
Pokud A + B + C = 9, pak Součet = 10 a (A, B, C) je (1, 2, 6), (1, 3, 5) nebo (2, 3, 4). Pokud to zaškrtnete, (1, 2, 6) a (2, 3, 4) jsou nemožné. Zbývá tedy pouze řešení vpravo nahoře jako jediné řešení se Součtem = 10.
Pokud porovnáte „Součty – 2“ s „Magickými trojúhelníky – 1“, uvidíte, že se jedná o stejnou hádanku!