Hádanky týdne

VÝZVA

Možné čtverce s vodorovnými a svislými stranami mají délky stran od 1 do jedné menší než je počet řádků/sloupců.

Pro každou velikost čtverce si představte levý horní roh jako počáteční pozici. Všechny čtverce této velikosti v mřížce můžete vytvořit posunutím tohoto počátečního čtverce. Máte na výběr, zda jej posunete doprava nebo dolů o zbývající počet pozic. Jedná se o nezávislé volby, takže dostanete druhá mocnina čtverce oné velikosti.

Předpokládejme například, že v této mřížce 5 x 5 počítáte čtverce 2 x 2. Čtverce 2 x 2 v levém horním rohu lze posunout o 1 nebo 2 doprava a o 1 nebo 2 dolů. Existují tedy 3 možné polohy vodorovně (počítáno od původní polohy) a 3 možné polohy svisle. Existují tedy 3 x 3 těchto čtverců 1 x 1.

Pro původní úlohu s mřížkou 5 x 5 to dává následující počet čtverců s vodorovnými a svislými stranami:

• Čtverce 1 krát 1: 4 x 4 = 16
• Čtverce 2 krát 2: 3 x 3 = 9
• Čtverce 3 krát 3: 2 x 2 = 4
• Čtverce 4 krát 4: 1 x 1 = 1.

Celkem existuje 16 + 9 + 4 + 1 = 30 možných čtverců s vodorovnými a svislými stranami.

Trik pro zbývající čtverce spočívá v tom, abyste si při počítání nadále uspořádali poměr stran. Čtverec popíšu podle toho, co dělá jedna z jeho stran. Například čtverec se stranou, která jde o jednu stranu doprava a o jednu nahoru, nebo čtverec se stranou, která jde o dvě strany doprava a o jednu nahoru – to jsou dva ze čtverců zobrazených na tomto obrázku.

Počítáním posuvným pohybem jako předtím máme:

• 1 vpravo a 1 nahoru: 3 x 3 = 9
• 2 vpravo a 1 nahoru: 2 x 2 = 4
• 3 vpravo a 1 nahoru: 1 x 1 = 1
• 2 vlevo a 1 nahoru: 2 x 2 = 4
• 3 vlevo a 1 nahoru: 1 x 1 = 1
• 2 vpravo a 2 nahoru: 1 x 1 = 1

Celkem tedy: 30 (z dřívějšího výpočtu) + 9 + 4 + 1 + 4 + 1 = 49.

PRŮZKUM

Můžete prozkoumat další velikosti nalezením organizovaného systému počítání!