Undgå rektangler – 2
X'erne i et gitter kan blive hjørnerne af rektangler med vandrette og lodrette sider. X'erne i dette første gitter danner to rektangler. Målet er dog at undgå at danne rektangler. X'erne i det andet gitter er placeret for at undgå at danne rektangler.
UDFORDRINGEN
Placer så mange X'er som muligt i dette 4 x 4-gitter, og undgå at lave rektangler.
UDFORSKNING
Hvad er det maksimale antal, du kan bruge til andre størrelser gitre? Ser du nogen mønstre i dine svar?
Noter
UDFORDRINGEN
At løse dette generelt er et meget vanskeligt, uløst problem i matematik. Det bør dog ikke forhindre en elev i at lege med det og lære en masse interessante ting undervejs.
Antag, at gitteret har m rækker og n kolonner. I Undgå rektangler – 1 fandt vi følgende resultater for de bedste svar.
1. og 2. række: Vi havde m + n – 1 X
3 rækker: Vi havde m + n X'er ved hjælp af et startdiagram for et 3 x 3 gitter, der lignede følgende diagram. Ved at bruge dette diagram, hvis vi havde 3 rækker med flere kolonner, kan vi blot tilføje et enkelt X i hver ny kolonne.
3 x 3-tilfældet krævede et andet udseende end strategien med 1 og 2 rækker, og det er fristende at tro, at eksemplerne med 4 eller flere rækker også vil kræve noget nytænkning. For at sige det indlysende, ønsker vi at oprette en samling af kolonner, der aldrig deler et par rækker med X'er i dem.
En strategi er at udfylde alt i den venstre kolonne undtagen den nederste firkant, og så har resten af kolonnerne et X i den nederste række og et X i en anden række. Dette vil altid virke og producerer (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X'er for et m gange m kvadratgitter. Denne metode til at udfylde firkanten kan derefter udvides (ved at tilføje et enkelt X i hver ny kolonne) til alt med m rækker for at give 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X'er, når m < n. Denne formel virker for alle svarene for ethvert gitter af enhver størrelse (med mere end 1 række) indtil videre.
UDFORSKNING
Hvis du leder efter de bedste svar online, kan du lave 12 X'er til 5 x 5-modellen (som du kan få ved hjælp af mønsteret), og derefter 16 X'er til 6 x 6-modellen (vist her).
Derefter er tallene, der starter med 7 gange 7, i rækkefølge: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 og 122. Matematikere har lavet en masse interessante undersøgelser af, hvordan disse fungerer, og dine matematikere kan også have det rigtig sjovt med det!
