Paritet – 3 – Sidste stående tal
Tallene 1 til 5 skrives på en tavle. Derefter vælges par af tal, slettes og erstattes af deres forskel. Dette fortsætter, indtil der er et enkelt tal tilbage. I eksemplet nedenfor er det tal 1.
1 2 3 4 5 => 1 2 4 2
1 2 4 2 => 2 2 3
2 2 3 => 2 1
2 1 => 1
UDFORDRINGEN
Hvor lille kan det ene tal være? Kan det være 0? Ændrer dit svar sig, hvis tallene går fra 1 til 6 eller fra 1 til 7?
1 2 3 4 5 => ?
UDFORSKNING
For en given liste af tal, såsom 1 til 5, hvilke sidste tal er mulige? Hvad er
Det mindste og største mulige sidste tal? Hvornår kan 0 eller det øverste tal forekomme på listen over muligheder?
Noter
UDFORDRINGEN
Dette minder meget om puslespillet, der spørger, hvilke tal der er mulige, når vi tager tallene fra 1 til 5 og sætter additions- eller subtraktionstegn mellem hvert talpar – for eksempel 1 + 2 + 3 – 4 + 5 eller 1 + 2 – 3 + 4 + 5. Fordelen ved at bruge denne form for puslespil er, at der ikke vil være negative tal involveret.
Et par enkle bemærkninger til at starte med. Alle differenser er ikke-negative, så det endelige svar kan aldrig være mindre end 0. De tal, der dannes ud fra differenser, er enten med de oprindelige tal eller fra tal afledt af disse tal. Så det maksimale tal, der kan bruges med en differens, er det største tal, som er 5. Vi vil gerne vide, hvilke af tallene fra 0 til 5 der er mulige endelige svar.
Se på dette som et lige-og-odds-problem. Start med at tælle antallet af ulige tal. I tilfælde af at gå fra 1 til 5, er dette tal 3, som i sig selv er et ulige tal. Så vi har et ulige antal ulige tal. Lav en liste over, hvad der sker, når du tager en differens: 1) Hvis begge tal er lige, er resultatet et lige tal, og der er ingen ændring i det samlede antal ulige tal; 2) hvis det ene tal er ulige, og det andet er lige, er resultatet et ulige tal, og der er ingen ændring i det samlede antal ulige tal; og 3) hvis begge tal er ulige tal, er resultatet et lige tal, og det samlede antal ulige tal reduceres med to. I alle tilfælde forbliver det samlede antal ulige tal enten det samme eller reduceres med to.
Resultat: Hvis vi starter med et ulige antal ulige tal, ender vi med et ulige antal (1) af dem. Hvis vi starter med et lige antal ulige tal, ender vi med et lige antal (0) af dem.
I tilfældet med at gå fra 1 til 5, startede vi med et ulige antal ulige tal, så det endelige svar skal være ulige. Det endelige svar skal være 1, 3 eller 5. Nogle hurtige eksperimenter viser, at de alle er mulige.
Analysen er nøjagtig den samme for tallene fra 1 til 6, fordi der stadig er tre ulige tal.
For området 1 til 7 er der nu et lige antal ulige tal, så der vil være nul ulige tal til sidst, og de mulige sidste tal er 0, 2, 4 eller 6 (som alle kan forekomme).
UDFORSKNING
Det er nemt at se, hvornår 0 er muligt. Start med at parre fortløbende tal fra toppen og tage deres forskelle. Dette giver en samling af 1'ere. Hvis der er et lige antal 1'ere, kan du få et 0, og hvis der er et ulige tal, kan du få et 1'er. Ikke overraskende er dette det samme som at finde ud af, om du startede med et lige eller ulige antal ulige tal. Tag 1 til 7 som et eksempel: (7 6) (5 4) (3 2) 1 => 1 1 1 1 => (1 1) (1 1) => 0 0 => 0.
Du kan gøre det samme for at se, om det øverste tal er muligt. Par fortløbende tal, startende fra toppen, og udelad det øverste tal. Tag differencen mellem disse par. Du har nu en liste af 1'ere sammen med det øverste tal. Reducer listen af 1'ere til enten et enkelt 0 eller et enkelt 1. Tag differencen mellem det og det øverste tal!