Pan Balance – 3
Eine Waage zeigt an, ob beide Seiten die gleiche Gewichtsmenge tragen oder ob eine Seite schwerer ist als die andere.
DIE HERAUSFORDERUNG
Sie haben 25 Münzen. Alle Münzen bis auf eine wiegen gleich viel. Die verbleibende Münze ist gefälscht und minimal leichter oder schwerer (Sie wissen nicht, welches Gewicht). Bestimmen Sie anhand von nur zwei Wägungen, ob die Fälschung leichter oder schwerer ist.
ERKUNDUNG
Wie ändert sich Ihre Strategie, wenn Sie mit einer anderen Anzahl von Münzen beginnen? Reichen zwei Wägungen immer aus? Ist die Strategie bei unterschiedlichen Münzzahlen unterschiedlich?
Notizen
DIE HERAUSFORDERUNG
Bilden Sie zunächst zwei Gruppen von Münzen der Größe 7 (8 Münzen gehen auch). Vergleichen Sie das Gewicht dieser beiden Gruppen.
Wenn die beiden Gruppen ausgeglichen sind, muss sich die Fälschung in der verbleibenden Gruppe von Münzen der Größe 11 befinden. Stellen Sie eine beliebige Gruppe von 11 Münzen aus den ersten beiden Gruppen zusammen und wiegen Sie diese gegen die verbleibenden Münzen.
Wenn die beiden Gruppen nicht übereinstimmen, sind alle übrigen Münzen echt. Wählen Sie sieben beliebige der verbleibenden Münzen aus und vergleichen Sie deren Gewicht mit einer der beiden ursprünglichen Gruppen. Stimmen die Gewichte überein, befand sich die Fälschung in der anderen Gruppe. Stimmen sie nicht überein, befand sich die Fälschung in der Gruppe, die aus den beiden ursprünglichen Gruppen ausgewählt wurde. So oder so wissen Sie dann, ob die Fälschung leichter oder schwerer war.
ERKUNDUNG
Diese Vorgehensweise funktioniert immer. Man beginnt mit der Bildung zweier gleich großer Gruppen x. Angenommen, es bleiben y Münzen übrig. Damit das oben beschriebene Verfahren funktioniert, muss x + x mindestens so groß wie y sein (falls die beiden Gruppen ausgeglichen sind) und y mindestens so groß wie x (falls sie nicht ausgeglichen sind). Dies lässt sich für jede beliebige Anzahl außer fünf Münzen leicht erreichen, indem man x als die ursprüngliche Anzahl der Münzen durch vier teilt und aufrundet, falls das Ergebnis nicht ohne Rest teilbar ist.
Überraschenderweise glaube ich, dass fünf Münzen drei Wägungen erfordern!