Egalaj Sumoj – 4
LA DEFIO
Jen diagramo kreita per interkovro de kvar cirkloj. La interkovrantaj cirkloj kreas ok regionojn. Metu nombron en ĉiun el la ok regionoj, uzante ĉiun el la nombroj 1 ĝis 8 precize unufoje, tiel ke la sumo de la nombroj en ĉiu cirklo estu la sama.
ESPLORADO
Kiom da malsamaj respondoj vi povas trovi? Ĉu vi opinias, ke estas pliaj? Kio okazas se vi uzas aliajn nombro-intervalojn? Ĉu ekzistas aliaj interesaj problemoj kiel ĉi tiu kun intersekcantaj cirkloj?
Notoj
LA DEFIO KAJ ESPLORADO
Komencu per decidi, kiuj sumoj eblas por la komuna sumo por ĉiuj cirkloj. Estu Sumo tiu valoro. Estu A, B, C, kaj D la valoroj de la kvar regionoj, kie du cirkloj intersekcas. La sumo de la kvar cirkloj estas 4 x Sumo, kaj ĝi ankaŭ estas 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D. Tiam ni havas la ekvacion 4 x Sumo = 36 + A + B + C + D, do Sumo = 9 + (A + B + C + D) / 4. La plej malgranda, kiun A + B + C + D povas havi, estas 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Ĉi tio devas esti dividebla, do ĝia plej malgranda ebla valoro estas 12, kio signifas, ke la plej malgranda ebla valoro estas Sumo = 9 + 12/4 = 12.
Notu, ke ajna solvo povas esti transformita en alian solvon subtrahante ĉiujn enirojn de 9. Farante tion, la malnova Sumo transformiĝos en 27 – Sumo. Sekve, la solaj eblaj valoroj por Sumo estas 12, 13, 14, kaj 15. Ĉar 12 kaj 15 estas ligitaj kune, kaj 13 kaj 14 estas ligitaj kune, ni nur bezonas kontroli solvojn por 12 kaj 13.
Jen solvoj por Sumo kun valoroj 12 kaj 13. Montriĝas, ke ĉi tiuj estas la solaj por ĉi tiuj du sumoj.
Rimarku, ke la nombroj en la centro de cirkloj, kiuj ne tuŝas unu la alian, sumiĝas al la sama afero. Ekzemple, en la plej maldekstra diagramo, 8 + 4 = 5 + 7. Pruvu, ke tio ĉiam okazas per iom da algebro. Estu K kaj L la valoroj en la centroj de du el la kontraŭaj cirkloj, kaj estu M kaj N la aliaj du valoroj. Se ni sumigas la regionojn por la du cirkloj por K kaj L, ni ricevas 2 x Sumo = K + L + (A + B + C + D). Simile, sumigante la regionojn por la du cirkloj por M kaj N, oni ricevas 2 x Sumo = M + N + (A + B + C + D). Tio devigas K + L = M + N.
Ankaŭ, notu, ke ĉar 4 x Sum = 36 + A + B + C + D, ni ricevas 2 x Sum = M + N + (4 x Sum – 36). Reskribante ĉi tion, ni havas M + N = 36 – 2 x Sum. Por niaj kvar valoroj de Sum, 12 ĝis 15, la valoroj de M + N estas 12, 10, 8, kaj 6.
Ĉar 12 = 4 + 8 = 5 + 7 estas la solaj manieroj atingi 12, la solvo supre por Sum = 12 estas la sola solvo. Dum 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 sugestas, ke ekzistas pli da eblecoj por Sum = 13, rapida kontrolo de la tri eblaj paroj de (2, 8), (3, 7), kaj (4, 6) montras, ke la solvo supre estas la sola por Sum = 13.