Egaleco – 3 – Lasta Staranta Numero
La nombroj 1 ĝis 5 estas skribitaj sur tabulo. Poste paroj da nombroj estas elektitaj, forviŝitaj, kaj anstataŭigitaj per ilia diferenco. Tio daŭras ĝis restas nur unu nombro. En la suba ekzemplo, tiu nombro estas 1.
1 2 3 4 5 => 1 2 4 2
1 2 4 2 => 2 2 3
2 2 3 => 2 1
2 1 => 1
LA DEFIO
Kiom malgranda povas esti tiu unuopa nombro? Ĉu ĝi povas esti 0? Ĉu via respondo ŝanĝiĝas se la nombroj iras de 1 al 6, aŭ de 1 al 7?
1 2 3 4 5 => ?
ESPLORADO
Por donita listo de nombroj, ekzemple 1 ĝis 5, kiuj lastaj nombroj eblas? Kio estas la
la plej malgranda kaj plej granda ebla lasta nombro? Kiam povas aperi 0 aŭ la supra nombro en la listo de eblecoj?
Notoj
LA DEFIO
Ĉi tio estas tre simila al la puzlo, kiu demandas, kiuj nombroj eblas, kiam ni prenas la nombrojn de 1 ĝis 5 kaj metas adiciajn aŭ subtrahajn signojn inter ĉiun paron da nombroj - ekzemple, 1 + 2 + 3 - 4 + 5 aŭ 1 + 2 - 3 + 4 + 5. La avantaĝo de uzi ĉi tiun formon de la puzlo estas, ke neniuj negativaj nombroj estos implikitaj.
Kelkaj facilaj notoj por komenci. Ĉiuj diferencoj estas nenegativaj, do la fina respondo neniam povas esti malpli ol 0. La nombroj, kiuj kreiĝas el diferencoj, estas aŭ kun la originalaj nombroj aŭ el nombroj derivitaj de tiuj nombroj. Do la maksimuma nombro, kiu povas esti uzata kun diferenco, estas la plej granda nombro, kiu estas 5. Ni volas scii, kiuj el la nombroj de 0 ĝis 5 estas eblaj finaj respondoj.
Rigardu ĉi tion kiel problemon de paraj kaj neparaj nombroj. Komencu per kalkulado de la nombro de neparaj nombroj. Se oni iras de 1 ĝis 5, tiu kalkulo estas 3, kio mem estas nepara nombro. Do, ni havas neparan nombron de neparaj nombroj. Faru liston de tio, kio okazas kiam vi prenas diferencon: 1) Se ambaŭ nombroj estas paraj, la rezulto estas para nombro kaj ne estas ŝanĝo en la tuta nombro de neparaj nombroj; 2) se unu nombro estas nepara kaj la alia estas para, la rezulto estas nepara nombro kaj ne estas ŝanĝo en la tuta nombro de neparaj nombroj; kaj 3) se ambaŭ nombroj estas neparaj nombroj, tiam la rezulto estas para nombro kaj la tuta nombro de neparaj nombroj malpliiĝas je du. En ĉiuj kazoj, la tuta nombro de neparaj nombroj aŭ restas la sama aŭ malpliiĝas je du.
Rezulto: Se ni komencas kun nepara nombro da neparaj nombroj, ni finos kun nepara nombro (1) da ili. Se ni komencas kun para nombro da neparaj nombroj, tiam ni finos kun para nombro (0) da ili.
En la kazo de irado de 1 ĝis 5, ni komencis kun nepara nombro da neparaj nombroj, do la fina respondo devas esti nepara. La fina respondo devas esti 1, 3 aŭ 5. Iom da rapida eksperimentado montras, ke ili ĉiuj eblas.
La analizo estas ekzakte la sama por la nombroj de 1 ĝis 6 ĉar ankoraŭ estas tri neparaj nombroj.
Por la intervalo 1 ĝis 7, nun ekzistas para nombro da neparaj nombroj, do estos nul neparaj nombroj ĉe la fino kaj la eblaj lastaj nombroj estas 0, 2, 4, aŭ 6 (kiuj ĉiuj povas okazi).
ESPLORADO
Estas facile vidi kiam 0 eblas. Komencu per parigo de sinsekvaj nombroj de supre kaj kalkulu iliajn diferencojn. Tio donas kolekton de 1-oj. Se estas para nombro de 1-oj, tiam vi povas ricevi 0, kaj se estas nepara nombro, vi povas ricevi 1. Ne surprize, tio estas la sama kiel ekscii ĉu vi komencis kun para aŭ nepara nombro de neparaj nombroj. Prenu 1 ĝis 7 kiel ekzemplon: (7 6) (5 4) (3 2) 1 => 1 1 1 1 => (1 1) (1 1) => 0 0 => 0.
Vi povas fari la samon por vidi ĉu la supra nombro eblas. Parigu sinsekvajn nombrojn komencante ĉe la supro, preterlasante la supran nombron. Prenu la diferencojn de ĉi tiuj paroj. Vi nun havas liston de 1-oj kune kun la supra nombro. Reduktu la liston de 1-oj al aŭ ununura 0 aŭ ununura 1. Prenu la diferencon de tio kun la supra nombro!