معماهای هفته

چالش و اکتشاف

این پیچیده‌تر از چیزی است که در «ماشین حساب خراب - ۱» اتفاق می‌افتد. قضیه ریاضی مربوطه، با محبت قضیه مک‌ناگت نامیده می‌شود. فرض کنید دو عدد نسبتاً اول n و m دارید - یعنی بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک آنها ۱ است. این قضیه می‌گوید که می‌توانید دقیقاً نیمی از اعداد ۱ تا (n - ۱) x (m - ۱) را به صورت مجموع مضرب‌های مثبت n و m تولید کنید، و با شروع از (n - ۱) x (m - ۱) می‌توانید هر عدد پس از آن را تولید کنید.

با اعمال این قضیه به اعداد ۴ و ۷، می‌دانیم که می‌توانیم نیمی از اعداد را تا (۴-۱) ضربدر (۷-۱) = ۱۸ تولید کنیم، و از آن به بعد می‌توانیم همه اعداد را بسازیم. بیایید ببینیم که در این مورد خاص چگونه عمل می‌کند.

• ۱ = غیرممکن
• ۱۷ = غیرممکن
• ۱۷ = غیرممکن
• 4 = 4
• ۱۷ = غیرممکن
• ۱۷ = غیرممکن
• 7 = 7
• 8 = 4 + 4
• ۱۷ = غیرممکن
• ۱۷ = غیرممکن
• 11 = 4 + 7
• 12 = 4 + 4 + 4
• ۱۷ = غیرممکن
• 14 = 7 + 7
• 15 = 4 + 4 + 7
• ۱۵ = ۸ + ۴ + ۲ + ۱
• ۱۷ = غیرممکن
• 18 = 4 + 7 + 7

بدون درک هیچ نظریه اعداد پیچیده‌ای، یک کاوشگر جسور ممکن است متوجه شود که نیمی از اعداد ۱ تا ۱۸ ممکن و نیمی دیگر غیرممکن هستند. او همچنین ممکن است متوجه این الگو شود که x دقیقاً زمانی ممکن است که ۱۷ - x ممکن باشد.

الگوی دیگری که باید به آن توجه کرد این است که هر مضرب مشترکی از دو عدد، تمام مجموع مضرب‌های آن دو عدد را بر هم تقسیم می‌کند. این بدان معناست که اگر دو عدد، مضرب مشترکی بزرگتر از ۱ داشته باشند، آنگاه تعداد نامتناهی عدد وجود خواهد داشت که نمی‌توان آنها را با آن ماشین حساب تولید کرد. برای مثال، ترکیب‌های ۴ و ۶ هرگز عدد فرد تولید نمی‌کنند.