معماهای هفته

چالش و اکتشاف

با تصمیم گیری در مورد اینکه کدام مجموع‌ها برای مجموع مشترک همه دایره‌ها ممکن است، شروع کنید. فرض کنید Sum آن مقدار باشد. فرض کنید A، B، C و D مقادیر چهار ناحیه‌ای باشند که دو دایره در آنها تلاقی می‌کنند. مجموع چهار دایره برابر با 4 ضربدر Sum است و همچنین برابر با 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D است. سپس معادله 4 ضربدر Sum = 36 + A + B + C + D را داریم، بنابراین Sum = 9 + (A + B + C + D) / 4. کوچکترین مقداری که A + B + C + D می‌تواند داشته باشد 1 + 2 + 3 + 4 = 10 است. این باید بخش‌پذیر باشد، بنابراین کوچکترین مقدار ممکن 12 است، به این معنی که کوچکترین مقدار ممکن Sum = 9 + 12/4 = 12 است.

توجه داشته باشید که هر جوابی را می‌توان با کم کردن تمام ورودی‌ها از ۹ به جواب دیگری تبدیل کرد. انجام این کار، Sum قدیمی را به ۲۷ – Sum تبدیل می‌کند. در نتیجه، تنها مقادیر ممکن برای Sum، ۱۲، ۱۳، ۱۴ و ۱۵ هستند. از آنجا که ۱۲ و ۱۵ به هم گره خورده‌اند، و ۱۳ و ۱۴ نیز به هم گره خورده‌اند، فقط باید جواب‌های ۱۲ و ۱۳ را بررسی کنیم.

در اینجا راه‌حل‌هایی برای Sum با مقادیر ۱۲ و ۱۳ ارائه شده است. مشخص شده است که اینها تنها راه‌حل‌ها برای این دو مجموع هستند.

توجه داشته باشید که اعداد در مرکز دایره‌هایی که با یکدیگر تماس ندارند، با هم جمع می‌شوند. برای مثال، در سمت چپ‌ترین نمودار، ۸ + ۴ = ۵ + ۷. ثابت کنید که این همیشه با کمی جبر اتفاق می‌افتد. فرض کنید K و L مقادیر در مراکز دو دایره مقابل باشند و M و N دو مقدار دیگر باشند. اگر نواحی دو دایره K و L را با هم جمع کنیم، 2 x Sum = K + L + (A + B + C + D) به دست می‌آید. به طور مشابه، جمع نواحی دو دایره M و N، 2 x Sum = M + N + (A + B + C + D) را می‌دهد. این باعث می‌شود K + L = M + N.

همچنین توجه داشته باشید که از آنجا که 4 x Sum = 36 + A + B + C + D است، 2 x Sum = M + N + (4 x Sum – 36) را داریم. با بازنویسی این رابطه داریم M + N = 36 – 2 x Sum. برای چهار مقدار Sum ما، 12 تا 15، مقادیر M + N عبارتند از 12، 10، 8 و 6.

از آنجا که 12 = 4 + 8 = 5 + 7 تنها راه‌های رسیدن به 12 هستند، راه‌حل بالا برای Sum = 12 تنها راه‌حل است. در حالی که 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 نشان می‌دهد که احتمالات بیشتری برای Sum = 13 وجود دارد، بررسی سریع سه جفت ممکن از (2، 8)، (3، 7) و (4، 6) نشان می‌دهد که راه‌حل بالا تنها راه‌حل برای Sum = 13 است.