مربع‌های فرد
یک مربع فرد، یک شبکه مربعی از اعداد است که در آن اعداد هر سطر و ستون، مجموعاً یک عدد فرد می‌شوند. این یک مربع فرد ۳ در ۳ است که از اعداد ۳ تا ۱۱ تشکیل شده است.
چالش
با استفاده از اعداد ۱ تا ۹ یک مربع فرد ۳ در ۳ تشکیل دهید.
اکتشاف
مربع زوج را تعریف کنید و مربع‌های زوجی را که می‌توانند با اعداد ۱ تا ۹ تشکیل شوند، در نظر بگیرید.
یادداشت
چالش
توجه داشته باشید که یک معمای طبیعی بعد از این، حل مربع‌های اول است.
برای اینکه مجموع اعداد یک سطر و ستون فرد شود، باید ۱ یا ۳ عدد فرد در آن وجود داشته باشد. از آنجایی که در مجموع ۵ عدد فرد وجود دارد، یعنی یک سطر ۳ عدد فرد و دو سطر یک عدد فرد خواهد داشت. به طور مشابه، یک ستون ۳ عدد فرد و دو ستون یک عدد فرد خواهند داشت.
می‌توانیم سطرها و ستون‌ها را جابه‌جا کنیم و در واقع پاسخ را به شکلی جالب تغییر ندهیم، بنابراین می‌توانیم فرض کنیم که پاسخ به این شکل است:
می‌توانیم هر عدد فرد را برای خانه‌های فرد و هر عدد زوج را برای خانه‌های زوج قرار دهیم. در اینجا یک پاسخ ممکن برای این معما وجود دارد، اما هر توزیع دیگری از اعداد فرد و زوج در خانه‌های فرد و زوج نیز کار خواهد کرد.
اکتشاف
یک مربع زوج، مربعی ۳ در ۳ است که مجموع تمام سطرها و ستون‌های آن زوج باشد.
برای اینکه مجموع اعداد یک سطر یا ستون زوج شود، باید ۰ یا ۲ عدد فرد در آن وجود داشته باشد.
با نگاه به ردیف‌ها، این یعنی هر ردیف ۰ یا ۲ عدد فرد خواهد داشت، و این یعنی سه ردیف روی هم رفته ۰، ۲، ۴ یا ۶ عدد فرد خواهند داشت. با این حال، ۵ عدد فرد از ۱ تا ۹ وجود دارد، بنابراین ساختن یک مربع زوج با اعداد ۱ تا ۹ غیرممکن است!