Sommes égales – 2
LE DÉFI
Voici un diagramme formé par la superposition de trois cercles. La superposition des cercles crée six régions. Inscrivez un nombre dans chacune des six régions, en utilisant chaque nombre de 1 à 6 une seule fois, de sorte que la somme des nombres dans chaque cercle soit identique.
EXPLORATION
Combien de réponses différentes pouvez-vous trouver ? Comment savez-vous que vous les avez toutes trouvées ?
Remarques
LE DÉFI ET L'EXPLORATION
Voici les quatre solutions. Pour comprendre pourquoi ce sont les seules, considérons les trois régions d'intersection de deux cercles, et soit Somme la somme commune des trois cercles. Calculons la somme totale de deux manières. En tant que somme des trois cercles, la somme est égale à 3 × Somme. En tant que somme des six nombres plus A, B et C, la somme est égale à 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. Ces deux expressions étant égales, on obtient 3 × Somme = 21 + A + B + C. En divisant par 3, on obtient Somme = 7 + (A + B + C)/3.
Pour que la somme soit un entier dans cette dernière équation, A + B + C doit être divisible par 3. Cela ne laisse que quatre possibilités pour A + B + C : 6, 9, 12 ou 15, et les valeurs correspondantes pour la somme sont 9, 10, 11 ou 12.
Les quatre solutions données ici ont des valeurs de somme de 9, 10, 11 et 12. Comme nous le verrons, ce sont toutes les solutions !
Pour simplifier les calculs, notez que si l'on prend une solution et qu'on soustrait tous ses termes de 7, on obtient une autre solution. De plus, notez que la somme de cette nouvelle solution sera égale à 21 – (l'ancienne somme). Par conséquent, les solutions pour les sommes 9 et 10 nous donnent celles pour les sommes 11 et 12.
Si A + B + C = 6, alors A, B et C valent 1, 2 et 3, et la somme est égale à 9. C'est la solution en haut à gauche.
Si A + B + C = 9, alors la somme est égale à 10 et (A, B, C) vaut (1, 2, 6), (1, 3, 5) ou (2, 3, 4). Or, (1, 2, 6) et (2, 3, 4) sont impossibles. Il ne reste donc que la solution en haut à droite pour laquelle la somme est égale à 10.
Si vous comparez « Sommes égales – 2 » avec « Triangles magiques – 1 », vous verrez qu’il s’agit du même puzzle !