Trouver des carrés – 2
Dans cette grille, deux carrés de 1 x 1 et un carré de 2 x 2, avec des côtés horizontaux et verticaux, sont dessinés en rouge.
LE DÉFI
Déterminez le nombre de carrés de toutes tailles et orientations dans cette grille. Contrairement à ce qui est montré dans l'introduction, tous ces carrés n'auront pas de côtés horizontaux et verticaux !
EXPLORATION
Expérimentez avec ce qui se passe avec des grilles plus grandes et avec des grilles qui ne sont pas carrées.
Remarques
LE DÉFI
Les carrés possibles à côtés horizontaux et verticaux ont des longueurs de côté comprises entre 1 et une unité inférieure au nombre de lignes/colonnes.
Pour chaque taille de carré, considérez le coin supérieur gauche comme la position de départ. Vous pouvez créer tous les carrés de cette taille dans la grille en déplaçant ce carré de départ. Vous avez le choix de le déplacer vers la droite ou vers le bas du nombre de positions restantes. Ces choix sont indépendants, vous obtenez donc carré de cette taille carré.
Par exemple, supposons que vous comptiez des carrés de 2 x 2 dans cette grille de 5 x 5. Un carré de 2 x 2 situé dans le coin supérieur gauche peut être décalé de 1 ou 2 cases vers la droite et de 1 ou 2 cases vers le bas. Il y a donc 3 positions possibles horizontalement (en comptant la position initiale) et 3 positions possibles verticalement. Il y a ainsi 3 x 3 de ces carrés de 1 x 1.
Pour le problème initial de la grille 5 par 5, cela donne le nombre suivant de carrés avec des côtés horizontaux et verticaux :
- Carrés 1 par 1 : 4 x 4 = 16
- Carrés 2 par 2 : 3 x 3 = 9
- Carrés 3 par 3 : 2 x 2 = 4
- Carrés 4 par 4 : 1 x 1 = 1.
Il existe un total de 16 + 9 + 4 + 1 = 30 carrés possibles avec des côtés horizontaux et verticaux.
Pour les carrés restants, l'astuce consiste à conserver une bonne méthode de comptage. Je décrirai un carré en fonction de la position d'un de ses côtés. Par exemple, un carré dont un côté va d'une unité vers la droite et d'une unité vers le haut, ou un carré dont un côté va de deux unités vers la droite et d'une unité vers le haut : ce sont deux des carrés représentés dans cette illustration.
En comptant par glissement comme précédemment, nous avons :
- 1 à droite et 1 en haut : 3 x 3 = 9
- 2 à droite et 1 en haut : 2 x 2 = 4
- 3 à droite et 1 en haut : 1 x 1 = 1
- 2 à gauche et 1 en haut : 2 x 2 = 4
- 3 à gauche et 1 en haut : 1 x 1 = 1
- 2 à droite et 2 en haut : 1 x 1 = 1
Le total est donc : 30 (d'avant) + 9 + 4 + 1 + 4 + 1 = 49.
EXPLORATION
Vous pouvez explorer d'autres tailles en trouvant un système de comptage organisé !