le 2023 janvier

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Progrès : Découvrez nos nouvelles ressources ! Notre programme « Activités pour les enseignants » propose désormais 70 énigmes hebdomadaires et 35 jeux mathématiques pour la classe. Notre traductrice coréenne a traduit les trois premiers chapitres de jeux, énigmes, activités et enquêtes.

L'association EFM a reçu deux dons juste avant la fin de l'année : un de 1 000 $ et un autre de 250 $. Ce dernier sera doublé par leur employeur d'ici quelques semaines. Nous avons hâte d'utiliser ces fonds pour produire des cartes à jouer, des livres de lecture ou des outils d'illustration. Merci à tous pour votre soutien !

Le monde est un terrain de jeu mathématique !

Récemment, j'ai passé du temps avec mes deux petites-filles, Zoé (1 an) et Claire (3 ans et demi). J'ai pu voir le monde à travers leurs yeux. Claire avait tant de questions intéressantes, et chaque réponse, chaque observation, en suscitait d'autres. Elle découvrait des schémas et avait soif d'apprendre. Pour un jeune enfant, le monde est un terrain de jeu mathématique.

Chez EFM, nous souhaitons que le monde entier ressente cela pour tous les enfants, quel que soit leur âge.

Ces derniers temps, j'ai eu le plaisir d'améliorer la collection de jeux de la semaine d'EFM, qui fait partie du programme d'activités pour les enseignants que nous développons. Nous avons ajouté à chaque jeu une section intitulée « Exploration », ainsi qu'une section « Notes » à l'intention des enseignants, qui explique la solution et les idées associées à chaque jeu.

Certaines de ces énigmes suscitent naturellement de nouvelles questions et de nouveaux casse-têtes à résoudre. Lorsqu'un problème mathématique crée un tel terrain de jeu mathématique, j'aime les appeler des environnements mathématiques riches. Dan Finkel les appelle des tâches riches et leur consacre une section du site web Math for Love .

Encourager un enfant à dépasser le simple problème immédiat et à se poser des questions connexes est une excellente chose. Cela l'amène à explorer des aspects intéressants et plus profonds de la matière, le fait passer d'une simple consommation passive des mathématiques à une véritable appropriation de sa réflexion, et transforme les mathématiques, autrefois synonymes de bonnes ou de mauvaises réponses, en un monde passionnant d'exploration et de découverte.

Il existe plusieurs excellents ouvrages qui abordent ce processus. J'apprécie particulièrement * The Art of Problem Posing* de Brown et Walter. Leurs problèmes s'adressent à un public plus âgé, mais leurs stratégies pour susciter la formulation de problèmes sont universelles. Un autre excellent livre est *Thinking Mathematically* de Mason et al., qui explore un vaste éventail de problèmes intéressants. Un troisième ouvrage, *Measurement * de Paul Lockhart, est un magnifique voyage de découverte à travers la géométrie, montrant souvent ce qui peut être posé et découvert simplement en présentant un diagramme simple, et rien d'autre. D'ailleurs, si vous n'avez pas lu son poème * A Mathematician's Lament* , je vous le recommande vivement.

Jouons dans cette aire de jeux !

Remplir des carrés avec des carrés

En combien de carrés peut-on découper un grand carré ? Une question simple qui donne des résultats très intéressants !

Après réflexion, la première réponse qui vient à l'esprit est celle des carrés parfaits : 1, 4, 9, 16, etc. C'est déjà une bonne notion pour un enfant, qui lui permet de comprendre comment diviser un carré en parts égales.

Comment pouvons-nous reformuler cette question ou mieux la comprendre ? Que se passe-t-il si l’on autorise des carrés de tailles différentes ? Que se passe-t-il si l’on remplace tous les carrés par d’autres formes ? Que se passe-t-il si l’on modifie la dimension du problème ?

Si l'on autorise des carrés de tailles différentes, les possibilités se multiplient. Face à une telle profusion d'options, il est utile d'adopter une méthode de travail systématique, une bonne habitude à inculquer aux enfants. Si le jeu libre avec ce problème est excellent et mérite d'être encouragé, votre enfant aura besoin, d'ici quelques années peut-être, de trouver une structure dans les solutions.

Une observation très utile est que toute solution peut remplacer un seul carré pour en créer une nouvelle. C'est ce qui s'est passé dans le troisième exemple : le carré en bas à droite a été remplacé par quatre carrés. Le remplacement d'un carré par quatre a pour effet d'augmenter le nombre total de carrés de 3. En ajoutant trois à toutes nos réponses précédentes, éventuellement de manière répétée, on obtient : 1, 4, 7, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, et ainsi de suite.

Il y a au moins une autre construction systématique à examiner, mais je ne vais pas gâcher tout le plaisir.

Que se passe-t-il lorsqu'on remplace les carrés par d'autres formes ? Avec quelles autres formes serait-il possible de le faire ? De quoi s'amuser ! On peut bien sûr décomposer les triangles réguliers en triangles réguliers plus petits. Étonnamment, le principe est similaire pour les triangles réguliers et les carrés. D'autres formes fonctionnent-elles et donnent-elles des résultats intéressants ? Parallélogrammes… Hexagones… ? Serait-il intéressant d'avoir plusieurs formes différentes pour les pièces ?

Que se passe-t-il lorsqu'on casse un cube en cubes plus petits ? Ça a l'air amusant, mais je n'ai jamais essayé.

Des coccinelles qui ne s'additionnent pas et ne se multiplient pas

Imaginons des coccinelles numérotées se posant sur une feuille. La seule condition est qu'une feuille ne puisse pas accueillir deux coccinelles dont la somme des numéros est égale à celle d'une troisième coccinelle. La feuille de gauche convient, mais celle de droite ne convient pas car 2 + 4 = 6. Avec deux feuilles, quelle hauteur maximale peut-on atteindre en partant de 1 ?

Après quelques essais, il semble que les suites {1, 2, 4, 8} et {3, 5, 6, 7} soient optimales. C'était amusant et cela a permis de bien s'exercer à l'addition et aux compléments à 10.

Comment explorer davantage cette situation ? On peut par exemple modifier le type de nombres utilisés : au lieu de nombres consécutifs commençant par 1, on peut utiliser des nombres pairs, impairs, premiers, ou même la suite de Fibonacci. On peut aussi modifier le nombre de feuilles. Que se passe-t-il s'il y en a 3, 4 ou plus ? Et si l'on change les règles de combinaison ? Que se passe-t-il si l'on exige que le produit de deux nombres sur une même feuille ne puisse donner un troisième nombre ? Un problème simple ouvre ainsi un champ de possibilités infini !

Examinons-en quelques-uns.

Utiliser les nombres pairs ne change pas grand-chose. Si l'on multiplie tous les nombres de notre première réponse par 2, on obtient la meilleure réponse pour les nombres pairs. Tous les changements ne mènent pas à un résultat spectaculaire, mais observer l'utilité d'un facteur 2 est une bonne expérience pour un enfant. Pour les nombres impairs, un phénomène surprenant se produit : tous les nombres tiennent sur une seule feuille ! Je vous laisse le soin d'explorer les nombres premiers et la suite de Fibonacci.

Avec plus de deux feuilles, la tâche se complique rapidement. C'est tellement difficile que la solution optimale pour six feuilles reste un problème non résolu.

Néanmoins, nous pouvons expérimenter certaines choses et obtenir des résultats intéressants. Remarquez qu'il existe au moins deux types de groupes qui peuvent toujours tenir sur une seule feuille. Le premier est celui des puissances de 2, comme {1, 2, 4, 8, 16}. Le second est celui de tous les nombres consécutifs, d'un nombre donné jusqu'à son double, que l'on peut placer sur une seule feuille, comme {3, 4, 5, 6}. Ces deux idées s'avèrent plus utiles qu'il n'y paraît.

Pour obtenir une très bonne réponse pour trois feuilles, commencez par les réponses pour deux feuilles {1, 2, 4, 8} et {3, 5, 6, 7}, et utilisez {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} sur la troisième feuille. Vous pouvez ensuite partir de 19 et répartir ces nombres selon vos possibilités. Après quelques essais, vous obtenez les réponses suivantes : {1, 2, 4, 8, 22}, {3, 5, 6, 7, 19, 20, 21} et {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}. Il ne vous manque qu'une unité pour atteindre la meilleure réponse, 23, que vous pouvez obtenir en apportant deux petites modifications à cette réponse préliminaire !

Ce sujet général est appelé ensembles et partitions sans somme. Si vous consultez les résultats correspondants, vous constaterez que les réponses dans la littérature, lorsqu'on ajoute une feuille, sont similaires à celles obtenues en passant de deux à trois feuilles. Ceci conduit à la conjecture suivante : la meilleure solution pour une feuille supplémentaire inclut-elle toujours la solution précédente ?

Supposons que l'on remplace l'addition par la multiplication. On exige alors que le produit de deux nombres sur une même feuille ne puisse pas donner un troisième nombre sur cette feuille. Un phénomène très intéressant se produit avec les nombres premiers et leur décomposition en facteurs premiers. Une feuille peut contenir tous les nombres égaux à 1, à un nombre premier ou au carré d'un nombre premier. L'autre feuille peut contenir tous les nombres restants jusqu'à ce qu'elle ne puisse plus contenir un nombre premier. Cela donne par exemple {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, …, 47} et {6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …, 46}. Je pense que c'est la meilleure solution pour deux feuilles. Qu'en est-il pour trois feuilles ou plus ? Quelles autres questions vous viennent à l'esprit ?

Balances à plateaux

On vous demande de peser n'importe quel poids, de 1 once à 30 onces, sur une balance à plateaux. Quel est le plus petit ensemble de poids qui conviendra ?

Pour un enfant qui découvre ce problème, la réponse n'est pas évidente. Encouragez-le donc à proposer un problème plus simple. Par exemple, remplacez 30 par 5, puis 6, 7, 8, 9 et 10. Avec quelques exemples, la solution deviendra claire.

Pour aller plus loin, examinez les hypothèses. Votre enfant a-t-il supposé que tous les poids seraient d'un seul côté de l'appareil ? Si oui, un tout nouveau défi se présente lorsqu'on place les poids des deux côtés.

Que se passe-t-il si l'on part d'un nombre limité de poids et que l'on se demande quels objets peuvent être pesés ? Supposons que nous ayons une quantité illimitée de poids de 4 onces et de 7 onces. Quels objets peuvent être pesés et lesquels ne le peuvent pas ? Que se passe-t-il si l'on remplace 4 et 7 par d'autres paires de nombres ? Pour quelles paires de nombres existe-t-il une infinité d'objets qui ne peuvent pas être pesés ? Pour les paires pour lesquelles cela n'est pas le cas, pouvez-vous trouver une formule permettant de déterminer la limite ? Pouvez-vous découvrir d'autres propriétés de l'ensemble des objets qui ne peuvent pas être pesés ?

Là encore, un tout autre problème se pose si vous placez vos poids de 4 grammes et 7 grammes de part et d'autre de l'appareil. Vous pouvez vous poser à nouveau toutes ces questions, et les réponses sont intéressantes !

Problème d'interrupteur

Imaginez un long couloir desservant 100 pièces. Toutes les pièces sont plongées dans l'obscurité. Vous disposez de 100 robots un peu fous. Le premier robot parcourt le couloir et actionne tous les interrupteurs. Le deuxième robot actionne un interrupteur sur deux. Le troisième robot actionne un interrupteur sur trois, et ainsi de suite. Une fois que tous les robots auront terminé, quelles pièces seront éclairées et lesquelles seront plongées dans le noir ? Ce problème peut se poser sous de nombreuses formes équivalentes, comme l'utilisation de casiers verrouillés dans un vestiaire.

C'est l'un de mes environnements mathématiques riches préférés, car il permet de soulever de nombreuses questions intéressantes en théorie des nombres et constitue un excellent terrain d'entraînement aux techniques de résolution de problèmes. Il est un peu avancé pour EFM, je ne l'aborderai donc que brièvement.

Avec un peu de patience, on peut résoudre la question initiale assez facilement. Les pièces éclairées sont celles numérotées de 1 à 100, qui correspondent exactement aux carrés. Si vous vous arrêtez là, vous avez répondu à la question, mais vous êtes passé à côté de nombreuses notions mathématiques intéressantes.

Pourquoi les carrés sont-ils éclairés et que se passe-t-il exactement ? En fait, l'interrupteur de la lumière d'une pièce est actionné pour chaque diviseur du numéro de la pièce ! Ainsi, une pièce sera éclairée si elle possède un nombre impair de diviseurs. D'après ce résultat, nous pouvons conjecturer qu'un nombre possède un nombre impair de diviseurs si et seulement si c'est un carré. Incroyable ! Comment est-ce possible ?

Nous allons maintenant explorer comment compter les diviseurs. Quels sont les nombres qui ont respectivement 1, 2, 3, 4 et 5 diviseurs ? Sont-ils intéressants (et oui) ? Qu'y a-t-il d'intéressant dans chaque groupe ? Existe-t-il une méthode systématique pour compter les diviseurs d'un nombre quelconque ? Existe-t-il des dénombrements de diviseurs qui imposent à un nombre une forme particulière ?

Compter les diviseurs était amusant. Que se passe-t-il si on additionne les diviseurs d'un nombre ? Que se passe-t-il si on multiplie les diviseurs d'un nombre entre eux ? Quelles autres questions intéressantes pouvez-vous poser à ce sujet ?

Et si on reprenait le problème initial avec des robots un peu fous qui n'actionnent que les interrupteurs impairs ? Et s'ils n'actionnaient que les interrupteurs pairs ? Les multiples de 3… les nombres premiers… les nombres de 1 à 10… Toutes les variantes n'auront pas forcément une réponse intéressante, mais vous passerez un bon moment à les découvrir !

Quel monde mathématique merveilleux !