Codáin Éigipteacha – 4
Timpeall 4000 bliain ó shin, d'fhorbair na hÉigiptigh ársa córas inarbh é an fhoirm seo a leanas a bhí ag a gcuid codán go léir
1/n. Tugtar orthu seo Codáin ÉigipteachaIs féidir roinnt codán Éigipteacha a scríobh mar an difríocht idir dhá
Codáin Éigipteacha. Is sampla de sin a dhéanamh é ⅓ = ½ – ⅙.
AN DÚSHLÁN
Cé na codáin Éigipteacha is féidir a scríobh mar dhifríocht dhá chodán Éigipteacha i gceann amháin?
aon bhealach amháin? Cé na cinn is féidir a scríobh ar dhá bhealach go díreach? An bhfuil cuid acu a bhfuil níos mó ná dhá bhealach acu?
1/N = 1/A – 1/B
nótaí
AN DÚSHLÁN
Rud amháin le tabhairt faoi deara ná go bhfuil líon teoranta réiteach féideartha ann i gcás aon n. Má tá 1/N = 1/A – 1/B, ansin tá 1/A – 1/N = 1/B > 0. Ciallaíonn 1/A – 1/N > 0 go bhfuil N > A. Mar sin, 1 < A < N, rud a chiallaíonn go bhfuil N – 2 réiteach ar a mhéad ann, agus is féidir iad a fháil, ar bhealach beagáinín leadránach, trí luachanna uile A sa raon sin a sheiceáil.
I gcás ainmneoirí ar uimhreacha cothroma iad, abair 2d, bíonn 1/2d = 1/d – 1/2d ann i gcónaí.
Bealach eile chun difríochtaí a tháirgeadh ná tosú le foirmle suimithe. Is é an ceann is simplí atá againn ná 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]. Éiríonn sé seo 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]. Leagan níos ginearálta de seo ná 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)] a éiríonn 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] áit a bhfuil ab > 1.
Mar sin, aon uair is féidir an t-ainmneoir a fhachtóiriú mar a(a+b), le a agus b dearfach agus ab > 1, beidh difríocht againn. Go háirithe, toisc gur féidir gach uimhir n > 2 a scríobh mar n = 1 x (1 + (n-1)), ansin is féidir gach Codán Éigipteach a scríobh mar dhifríocht ar bhealach amháin ar a laghad. Seo roinnt samplaí:
- ⅓: a = 1, b = 2 tugann ½ – ⅙
- ¼: a = 1, b = 3 tugann sé ⅓ – 1/12
- ⅕: a = 1, b = 4 tugann sé ¼ – 1/20
- ⅙: a = 1, b = 5 tugann ⅕ – 1/30; a = 2, b = 1 tugann ½ – ⅓
- 1/7: a = 1, b = 6 tugann ⅙ – 1/42
- ⅛: tugann a = 1, b = 7 1/7 – 1/56; tugann a = 2, b = 2 ¼ – 1/8
Ní hé seo gach rud. Mar shampla, chailleamar ⅙ = ¼ – 1/12.
Ag dul i ngleic le roinnt ailgéabar, i gcás a > 1 agus b > a > 1, smaoinigh ar 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab. Má dhéantar na hainmneoirí a ghlanadh, faightear ab = n(ba), agus má réitítear le haghaidh n, faightear n = ab/(ba). Aon uair is féidir linn a agus b a aimsiú a fhágann go n-oibríonn sé seo, beimid in ann an difríocht a tháirgeadh.
Féachfaimid ar na réitigh iomlána le haghaidh cúpla sampla ón taobh seo de agus féach an féidir linn patrún a aithint.
- 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
- 4 = 2 x 4 / (4 -2) = 3 x 12 / (12 – 3)
- 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
- 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
- 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
- 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)
Ag féachaint ar na samplaí seo, is cosúil nach bhfuil ach réiteach amháin ann nuair is príomhuimhir é n. Feicfimid cén fáth. Más príomhuimhir é n agus a < n, ansin n = axb / (b – a) a éilíonn go mbeidh b ina iolraí de n, abair b = nx c. Ansin n = ax nc / (nc – a) a deir go bhfuil ac / (nc – a) = 1, rud a chiallaíonn ac = nc – a. Agus é seo á athscríobh againn, faighimid nc = a(c + 1). Toisc gur príomhuimhir é n, tá c + 1 = n agus a = c = n – 1 againn. Mar sin, is é a = n – 1 agus b = n(n-1) an t-aon réiteach.