Serpenyőmérleg súlyokkal – 1
A serpenyőmérleg megmutatja, hogy a két oldala mikor azonos súlyt hordoz, vagy hogy az egyik oldal nehezebb-e, mint a másik.
A KIHÍVÁS
Van egy nagyon nagy gyűjteményed 4 és 7 unciás súlyokból, amelyeket egy serpenyős mérleg egyik oldalán használhatsz. Két 4 unciás súly segítségével megmérhetsz egy 8 unciás tárgyat. Melyik súlyokat tudod pontosan lemérni, és melyeket nem?
FELFEDEZÉS
Hogyan változnak az eredményeid, ha 5 és 9 unciás súlyaid vannak? Mi a helyzet más súlypárokkal, amelyeknek nincs 1-nél nagyobb közös osztójuk? Találsz bármilyen mintázatot az adataidban?
Megjegyzések
A KIHÍVÁS
Ezt gyakran Csirke McNugget-tételnek nevezik.
Kezdj valami nem teljesen nyilvánvalóval. Készíts egy számtáblázatot, amelynek sorai a két szám közül az egyik hosszúak. A sorokat 7 hosszúra fogjuk készíteni, de ugyanolyan jól működne, ha 4 hosszúak. Ezután írd pirossal a 4 és 7 többszöröseinek összegét, ahogy az alább látható.
Néhány dolog feltűnik, ha így nézzük az adatokat. Az egyik, hogy ha egy oszlopban találat van, akkor az oszlop többi része is kitöltődik. A másik, hogy a 4 többszörösei ismétlés nélkül ugrálnak az oszlopokban, amíg el nem érjük a 4 x 7-et. A 4 x 7-re minden oszlopot a 4 többszöröse talált el.
18-tól kezdve az összes számot eltalálja a rendszer. Ez összhangban van az általános tétellel. A tétel kimondja, hogy ha a két szám m és n, és relatív prímek, akkor az (m – 1) × (n – 1)-től kezdődő összes számot eltalálja a rendszer, ami esetünkben 6 × 3 = 18.
A tétel egy másik része az, hogy 1-től (m – 1) × (n – 1)-ig a számoknak pontosan a fele lesz eltalált. Esetünkben ez 18-ból 9 számot jelent.
FELFEDEZÉS
Az 5-ös és 9-es számok esetében a telítési pont (5 – 1) × (9 – 1) = 4 × 8 = 32-nél kezdődik, és a 32-ig terjedő számok közül 16-ot eltalál a rendszer.