שבילים על לוחות שחמט – 2
בפאזל השבוע "שבילים על לוחות שחמט - 1" בדקנו מתי ניתן היה, החל מנקודה נתונה, ליצור נתיב על לוח שחמט שעובר בכל משבצת. החל מהנקודה השחורה, ללוח השחמט הראשון בגודל 3 על 4 יש נתיב וללוח השחמט השני בגודל 3 על 5 אין.
עבור חידה זו יש לנו גם נקודת התחלה וגם נקודת סיום, ושואלים את השאלה האם יש נתיב שמתחיל בנקודה אחת ומבקר בכל נקודה בדיוק פעם אחת בדרך לסיום בנקודה השנייה.
אתגר
עבור שני לוחות שחמט אלה, זהו אילו זוגות של נקודות התחלה וסיום מחברים ביניהם נתיב שמבקר בכל משבצת בלוח פעם אחת, ואילו לא. מה ההבדל?
חיפושי
צרו לוחות שחמט בגדלים אחרים ונסו עמדות התחלה שונות עליהם. האם אתם
לראות דפוסים כלשהם עבור אילו עמדות התחלתיות מתאימות בכל לוח?
הערות
האתגר והחקירה
ב"שבילים על לוחות שחמט - 1" ראינו שרצף הצבעים על נתיב יתחלף ככל שמתקדמים לאורך הנתיב.
כפי שראינו בפאזל הקודם, עבור לוחות שחמט עם מספר זוגי של ריבועים, כמו לוח 3 על 4, עלינו לסיים בצבע ההפוך מזה שהתחלנו. עבור לוחות שחמט עם מספר אי-זוגי של ריבועים, כמו לוח 3 על 5, עלינו להתחיל ולסיים בצבע שנמצא באחת מפינות הלוח.
זה משאיר את השאלה - אם ניקח את הכללים האלה, האם זה מספיק?
דרך אחת לנתח שאלה זו היא לקבוע את מיקום אחת הנקודות ולראות מהן כל נקודות הקצה עבור נתיבים טובים. אנו יכולים לנצל סימטריית מראה (סיבוב סביב מרכז הלוח בכיוון אחד או אחר) כדי להפחית את מספר המקרים האפשריים שיש לבחון. הנה מה שאנו מקבלים עבור שני הלוחות. הנקודה האדומה היא נקודת התחלה קבועה, והנקודות השחורות הן מקומות עם נקודות קצה מוצלחות.
כפי שאתם רואים, רוב התנוחות עובדות. עבור אלו שנכשלות, זו לא בעיה עם צבעים מתחלפים, אלא בעיה של להידחק לפינות. בעיית ההגבלה הזו מטרידה עוד יותר עבור לוחות עם שתי שורות בלבד. עבור ארבע שורות או יותר, אני מאמין שבעיות ההגבלה נעלמות.