פאזלים של השבוע

אתגר

כשאתם בוהה בבעיה, אתם מבינים שאתם רוצים להפעיל לחץ על העובדה שככל שהמספרים יגדלו, הסכום לא יגדל כמעט באותה מהירות כמו המכפלה. דבר פשוט אחד לעשות הוא להפוך את הסכום למכפלה באופן הבא.

נניח שהמספרים A, B, C, D ו-E מסודרים בסדר יורד כך ש-A הוא הערך הגדול ביותר (ייתכן שהוא קשור לאחרים). אז A + B + C + D + E ≤ 5A. כתוצאה מכך, A x B x C x D x E = A + B + C + D + E ≤ 5A. לכן, יש לנו B x C x D x E ≤ 5. מכיוון שאלה מספרים שלמים, זה משאיר לנו מעט מאוד אפשרויות לבחון!

כל אחד מאלה יופיע בסדר ב', ג', ד', ה'.

• 5, 1, 1, 1: אז A x 5 x 1 x 1 x 1 = A + 5 + 1 + 1 + 1, אז 5A = A + 8. משמעות הדבר היא ש-A שווה 2, מה שלא יכול לקרות מכיוון ש-A אמור להיות הערך הגדול ביותר.
• 4, 1, 1, 1: אז A x 4 x 1 x 1 x 1 = A + 4 + 1 + 1 + 1, אז 4A = A + 7. משמעות הדבר היא ש-3A = 7, וזה בלתי אפשרי.
• 3, 1, 1, 1: אז A x 3 x 1 x 1 x 1 = A + 3 + 1 + 1 + 1, אז 3A = A + 6. משמעות הדבר היא ש-2A = 6, אז A = 3. זה נותן את הפתרון 3 x 3 x 1 x 1 x 1 = 3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9.
• 2, 1, 1, 1: אז A x 2 x 1 x 1 x 1 = A + 2 + 1 + 1 + 1, אז 2A = A + 5. משמעות הדבר היא ש- A = 5. זה נותן את הפתרון ש- 5 x 2 x 1 x 1 x 1 = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.
• 1, 1, 1, 1: אז A x 1 x 1 x 1 x 1 = A + 1 + 1 + 1 + 1, אז A = A + 4, וזה בלתי אפשרי.
  ● 2, 2, 1, 1: אז A x 2 x 2 x 1 x 1 = A + 2 + 2 + 1 + 1, אז 4A = A + 6. משמעות הדבר היא ש- A = 2. זה נותן את הפתרון ש- 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 8.

לכן, ישנם שלושה פתרונות: 3, 3, 1, 1, 1; 5, 2, 1, 1, 1; ו-2, 2, 2, 1, 1. המספר הגדול ביותר שמופיע בכל אחד מאלה הוא 5.

חיפושי

ניתן לבצע ניתוח דומה מאוד עבור כל מספר מספרים. עם מספרים גדולים יותר, יש יותר לנתח.

עבור המספרים 2, 3 ו-4 נקבל:

• 2 x 2 = 2 + 2
• 3 x 2 x 1 = 3 + 2 + 1
• 4 x 2 x 1 x 1 = 4 + 2 + 1 + 1

מעבר לתשובות הספציפיות הללו, לאחר ביצוע מספר דוגמאות, "ברור" שכאשר ישנם n מספרים, המספר הגדול ביותר תמיד יהיה "n" המשויך לפתרון nx 2 x 1 x 1 x … x 1 = n + 2 + 1 + 1 + … + 1.