ריצוף מלבנים
יש לכם שתי תשבצים. עבור מלבן בגודל 1 על n, בכמה דרכים ניתן למלא אותו עם תערובת של ריבועים בגודל 1 על 1 ומלבנים בגודל 1 על 2? עבור מלבן בגודל 2 על n, בכמה דרכים ניתן למלא אותו עם מלבנים בגודל 1 על 2?
אתגר
מדוע שתי הפאזלים הללו נותנות את אותן תשובות? מהן התשובות כאשר המלבנים הממולאים הם באורך 10? מה לגבי כאשר הם באורך 20?
חיפושי
במה שתי הבעיות הללו דומות זו לזו לחידות קודמות? כיצד דברים משתנים בפאזל 1 כפול n אם נשתמש בחלקים של 1 כפול 1 ו-1 כפול 3? כיצד דברים משתנים בפאזל 1 כפול n אם נשתמש בחלקים של 1 כפול 1, 1 כפול 2 ו-1 כפול 3?
הערות
אתגר
לראות כיצד ליישם תוצאות קודמות על חלק או על כולו של פאזל חדש היא מיומנות רבת עוצמה.
שני הפאזלים הללו זהים לחלוטין במהותם. חלקים אנכיים במלבן 2xn תואמים לחלקים בגודל 1x1 במלבן 1xn, וחלקים אופקיים במלבן 2xn תואמים לחלקים בגודל 1x2 במלבן 1xn. לכן, אין באמת הבדל בין שני הפאזלים.
בנוסף, חידת המלבן 1 על n דומה בדיוק לחידת הצעדים ב"פיבונאצ'י - 2". צעד אחד בכל פעם דומה להצבת ריבוע של 1 על 1, וצעידה של שני צעדים בכל פעם דומה להצבת מלבן של 1 על 2. שני החידות זהות, כך שהניתוח והתוצאות זהים.
חיפושי
אם נשתמש במלבנים של 1 על 1 ו-1 על 3, הרבה משתנה. התבוננו בערכים הראשונים וחשבו כיצד הם מחושבים. נקבל 1, 1, 2, 3, 4, 6 ו-9 עבור הערכים הראשונים. באופן כללי, הערך הבא הוא סכום הערך הנוכחי ושני שלבים לפניו. זה די פשוט לחישוב, אבל זה כבר לא סדרת פיבונאצ'י.
אם נשתמש ב-1 כפול 1, 1 כפול 2 ו-1 כפול 3, הדברים משתנים בצורה דרמטית עוד יותר. כעת הערכים הראשונים ניתנים על ידי 1, 2, 4, 7, 13 ו-24. הערך הבא ברצף הוא סכום שלושת הערכים הקודמים.
סדרות כאלה המגדירות את האיברים הבאים שלהן על ידי נוסחה קבועה הכוללת איברים קודמים נקראות סדרות רקורסיביות. מספרי פיבונאצ'י אינם הסדרה הרקורסיבית היחידה, אך הם כנראה המפורסמת ביותר.