이번 주 퍼즐

도전 과제

일반적으로 이 문제를 해결하는 것은 수학에서 매우 어렵고 아직 해결되지 않은 문제입니다. 하지만 그렇다고 해서 학생들이 이 문제를 탐구하고 그 과정에서 많은 흥미로운 것들을 배우는 것을 막아서는 안 됩니다.

격자가 m개의 행과 n개의 열로 이루어져 있다고 가정해 봅시다. "직사각형 피하기 - 1"에서 우리는 최적의 답변에 대해 다음과 같은 결과를 얻었습니다.

1행과 2행: 우리는 m + n – 1개의 X를 가지고 있었습니다.

3행: 우리는 아래 그림과 같은 3x3 격자의 초기 도표를 사용하여 m + n개의 X를 가지고 있었습니다. 이 도표를 사용하여 열이 더 많은 3행이 있는 경우, 각 새 열에 X를 하나씩 추가하기만 하면 됩니다.

3x3 배열의 경우 1행 및 2행 전략과는 다른 접근 방식이 필요했으며, 4행 이상인 예제에서도 새로운 사고방식이 요구될 것이라고 예상할 수 있습니다. 당연한 말이지만, 우리는 X가 포함된 행 쌍을 공유하지 않는 열들의 모음을 만들고자 합니다.

한 가지 전략은 가장 왼쪽 열의 맨 아래 칸을 제외한 모든 칸을 채운 다음, 나머지 열의 맨 아래 행과 다른 행에 각각 X 하나씩을 표시하는 것입니다. 이 방법은 항상 유효하며, m x m 정사각형 격자의 경우 (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1)개의 X를 생성합니다. 이 방법은 (각 새로운 열에 X를 하나씩 추가하여) 행이 m개인 격자에도 적용할 수 있으며, m < n일 때 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3개의 X를 생성합니다. 이 공식은 지금까지 제시된 모든 크기의 격자(행이 1개 이상인 경우)에 대해 모든 해답을 제공합니다.

탐사

온라인에서 가장 적절한 답변을 찾아보니 5x5 크기의 경우 (패턴을 이용하면 얻을 수 있는) X자를 12개, 6x6 크기의 경우 (여기에 나와 있는 것처럼) X자를 16개 사용할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

그 후, 7부터 7씩 증가하는 숫자는 순서대로 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115, 122입니다. 수학자들은 이러한 현상이 어떻게 나타나는지 흥미로운 연구들을 많이 해왔으며, 여러분의 수학 전공 학생들도 이를 통해 많은 재미를 느낄 수 있을 것입니다!