이번 주 퍼즐

도전 과제

한 가지 유의할 점은 임의의 n에 대해 가능한 해의 개수가 제한되어 있다는 것입니다. 만약 1/N = 1/A – 1/B라면, 1/A – 1/N = 1/B > 0입니다. 1/A – 1/N > 0은 N > A를 의미합니다. 따라서 1 < A < N이므로, 해는 최대 N-2개이며, 이 해들은 해당 범위 내의 모든 A 값을 확인하는 다소 번거로운 과정을 통해 찾을 수 있습니다.

분모가 2d처럼 짝수인 경우에는 항상 1/2d = 1/d – 1/2d가 성립합니다.

차이를 구하는 또 다른 방법은 덧셈 공식을 이용하는 것입니다. 가장 간단한 공식은 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)]입니다. 이 공식은 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)]이 됩니다. 이 공식의 일반적인 형태는 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)]이며, 이는 ab > 1일 때 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)]이 됩니다.

따라서 분모가 a(a+b)로 인수분해될 수 있고, 여기서 a와 b는 양수이며 ab > 1이면, 항상 차(difference)가 존재합니다. 특히, 2보다 큰 모든 수 n은 n = 1 x (1 + (n-1))로 나타낼 수 있으므로, 모든 이집트 분수는 적어도 한 가지 방법으로 차(difference) 형태로 표현될 수 있습니다. 다음은 몇 가지 예입니다.

• ⅓: a = 1, b = 2는 ½ – ⅙을 제공합니다.
• ¼: a = 1, b = 3은 ⅓ – 1/12을 제공합니다.
• ⅕: a = 1, b = 4는 ¼ – 1/20을 제공합니다.
• ⅙: a = 1, b = 5이면 ⅕ – 1/30이 되고, a = 2, b = 1이면 ½ – ⅓이 됩니다.
• 1/7: a = 1, b = 6이면 ⅙ – 1/42이 됩니다.
• ⅛: a = 1, b = 7이면 1/7 – 1/56이 되고, a = 2, b = 2이면 ¼ – 1/8이 됩니다.

이게 전부가 아닙니다. 예를 들어, ⅙ = ¼ – 1/12을 놓쳤습니다.

대수학을 좀 더 살펴보면, a > 1이고 b > a > 1일 때, 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab가 됩니다. 분모를 없애면 ab = n(ba)가 되고, n에 대해 풀면 n = ab/(ba)가 됩니다. 이 식이 성립하도록 하는 a와 b의 값을 찾으면 차이를 구할 수 있을 것입니다.

이러한 관점에서 몇 가지 예시에 대한 완전한 풀이 과정을 살펴보고 어떤 패턴이 있는지 확인해 보겠습니다.

• 3 = 2 x 6 / (6 – 2)
• 4 = 2 x 4 / (4 -2) = 3 x 12 / (12 - 3)
• 5 = 4 x 20 / (20 – 4)
• 6 = 2 x 3 / (3 – 2) = 3 x 6 / (6 – 3) = 4 x 12 / (12 – 4) = 5 x 30 / (30 – 5)
• 7 = 6 x 42 / (42 – 6)
• 8 = 4 x 8 / (8 – 4) = 6 x 24 / (24 – 6) = 7 x 56 / (56 – 7)

이 예시들을 보면 n이 소수일 때 해가 하나뿐인 것처럼 보입니다. 그 이유를 살펴보겠습니다. n이 소수이고 a < n이면, n = axb / (b – a)에서 b는 n의 배수, 즉 b = nxc가 되어야 합니다. 그러면 n = axnc / (nc – a)에서 ac / (nc – a) = 1이 되므로 ac = nc – a가 됩니다. 이를 다시 쓰면 nc = a(c + 1)이 됩니다. n이 소수이므로 c + 1 = n이고 a = c = n – 1입니다. 따라서 a = n – 1이고 b = n(n-1)이 유일한 해입니다.