이퀄 프로덕츠
도전 과제
이 세 가지 곱이 모두 같아지는 서로 다른 한 자릿수 7개를 찾으세요.
탐사
이 문제를 풀고 나면, 어떤 점이 이 퍼즐을 흥미롭게 만드는지 생각해 보세요. 퍼즐을 어떻게 바꿔도 여전히 흥미로울까요? 곱셈 대신 덧셈을 사용하면 어떻게 될까요?
노트
도전 과제 :
먼저 5는 숫자가 될 수 없다는 점에 주목하세요. 만약 5가 된다면, 세 개씩 묶인 그룹 중 최대 두 개에만 들어갈 수 있습니다. 즉, 한두 그룹에는 5가 약수로 들어가지만 나머지 그룹에는 들어가지 않는다는 뜻입니다. 마찬가지로 7도 숫자가 될 수 없습니다.
그러면 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9의 일곱 자리 숫자만 남게 되는데, 이 숫자들을 모두 사용해야 합니다.
소인수분해를 이용하면 나머지 분석 과정을 훨씬 쉽게 이해할 수 있습니다. 세 개의 곱에서 2의 약수 개수와 3의 약수 개수의 균형을 맞춰야 합니다.
이 일곱 자리 숫자의 곱은 27 × 34입니다. 공통 곱은 무엇일까요? 적어도 23 × 32 이상이어야 합니다. 왜냐하면 답에는 8과 9가 어딘가에 반드시 들어가기 때문입니다. 세 그룹을 각각 곱하면 총 곱은 29 × 36이 됩니다. 세 곱을 곱했을 때 반복되는 문자는 C와 E뿐이므로, C × E = 22 × 32가 됩니다. 이렇게 되려면 C와 E가 각각 4와 9여야 합니다.
간단히 확인해 보면 2 또는 3의 거듭제곱을 늘려도 결과가 나오지 않는다는 것을 알 수 있습니다.
C=9, E=4로 설정하면 나머지는 금방 해결됩니다.
정답은 1 8 9 2 4 3 6입니다.
탐구:
이 퍼즐을 흥미롭게 만드는 것은 소수가 중요한 역할을 한다는 점입니다. 또한, 선택된 숫자의 개수는 필요한 자릿수보다 두 개 더 많으며, 우리는 정확히 두 가지 가능성을 배제할 수 있습니다.
곱셈 대신 덧셈을 사용한다면 해답이 너무 많아질 것입니다. 좋은 퍼즐은 해답의 수를 몇 개로 좁히는 제약 조건을 포함합니다.