동률 – 3 – 마지막까지 남은 사람
칠판에 1부터 5까지의 숫자가 쓰여 있습니다. 그런 다음 두 숫자를 짝지어 선택하고, 지우고, 그 차이를 적은 숫자로 다시 씁니다. 이 과정을 숫자 하나만 남을 때까지 계속합니다. 아래 예시에서는 남은 숫자가 1입니다.
1 2 3 4 5 => 1 2 4 2
1 2 4 2 => 2 2 3
2 2 3 => 2 1
2 1 => 1
도전 과제
그 숫자 하나가 얼마나 작을 수 있을까요? 0일 수 있을까요? 숫자가 1에서 6까지, 또는 1에서 7까지라면 답이 달라질까요?
1 2 3 4 5 => ?
탐사
1부터 5까지와 같은 주어진 숫자 목록에서 마지막에 올 수 있는 숫자는 무엇입니까?
가능한 마지막 숫자 중 가장 작은 것과 가장 큰 것은 무엇일까요? 0이나 가장 큰 숫자가 나타날 수 있는 경우는 언제일까요?
노트
도전 과제
이 문제는 1부터 5까지의 숫자 중에서 덧셈이나 뺄셈 기호를 넣어 만들 수 있는 숫자가 무엇인지 묻는 문제와 매우 유사합니다. 예를 들어, 1 + 2 + 3 – 4 + 5 또는 1 + 2 – 3 + 4 + 5와 같은 경우입니다. 이 형태의 문제를 사용하는 장점은 음수가 포함되지 않는다는 것입니다.
먼저 몇 가지 간단한 사항을 알려드리겠습니다. 모든 차이는 음수가 될 수 없으므로 최종 답은 0보다 작을 수 없습니다. 차이를 통해 생성되는 숫자는 원래 숫자이거나 원래 숫자에서 파생된 숫자일 수 있습니다. 따라서 차이에 사용할 수 있는 최대 숫자는 가장 큰 숫자인 5입니다. 우리는 0부터 5까지의 숫자 중에서 최종 답이 될 수 있는 숫자를 찾고자 합니다.
짝수와 홀수 문제로 생각해 보세요. 먼저 홀수의 개수를 세어 봅니다. 1부터 5까지 가는 경우, 홀수는 3개이고 5 자체도 홀수입니다. 따라서 홀수의 개수는 홀수입니다. 이제 두 수의 차이를 구하는 경우를 생각해 봅시다. 1) 두 수 모두 짝수이면 결과는 짝수가 되고 홀수의 개수는 변하지 않습니다. 2) 한 수는 홀수이고 다른 수는 짝수이면 결과는 홀수가 되고 홀수의 개수는 변하지 않습니다. 3) 두 수 모두 홀수이면 결과는 짝수가 되고 홀수의 개수는 2개 줄어듭니다. 모든 경우에 홀수의 개수는 그대로 유지되거나 2개 줄어듭니다.
결과: 홀수 개의 홀수로 시작하면 홀수 개의 홀수(1)로 끝납니다. 짝수 개의 홀수로 시작하면 짝수 개의 홀수(0)로 끝납니다.
1에서 5까지 가는 경우, 시작 숫자의 개수가 모두 홀수이므로 최종 답도 홀수여야 합니다. 따라서 최종 답은 1, 3 또는 5가 될 수 있습니다. 간단한 실험을 통해 이 모든 경우가 가능하다는 것을 알 수 있습니다.
1부터 6까지의 숫자에 대한 분석은 여전히 홀수가 세 개 남아 있기 때문에 완전히 동일합니다.
1부터 7까지의 범위에서 홀수의 개수는 짝수이므로, 마지막에는 홀수가 하나도 남지 않게 됩니다. 따라서 마지막에 나올 수 있는 숫자는 0, 2, 4, 또는 6입니다 (이 세 숫자는 모두 나올 수 있습니다).
탐사
0이 나올 수 있는 경우를 쉽게 알 수 있습니다. 먼저 위에서부터 연속된 숫자들을 짝지어 그 차이를 구합니다. 그러면 1의 집합이 나옵니다. 1의 개수가 짝수이면 0이 될 수 있고, 홀수이면 1이 될 수 있습니다. 놀랍게도, 이는 처음에 홀수의 개수가 짝수인지 홀수인지 확인하는 것과 같습니다. 1부터 7까지의 예를 들어 보겠습니다. (7 6) (5 4) (3 2) 1 => 1 1 1 1 => (1 1) (1 1) => 0 0 => 0.
같은 방법으로 맨 위 숫자가 가능한지 확인할 수 있습니다. 맨 위 숫자를 제외하고 연속된 숫자들을 짝지어 보세요. 이 짝지은 숫자들의 차이를 구합니다. 이제 맨 위 숫자를 포함한 모든 숫자가 1로 이루어진 목록이 생겼습니다. 이 목록을 0 하나만 남거나 1 하나만 남도록 줄인 다음, 그 결과와 맨 위 숫자의 차이를 구합니다!