완벽한 직사각형 – 1
모든 변의 길이가 서로 다른 정사각형 10개로 채울 수 있는 직사각형을 완전 직사각형이라고 합니다. 다음은 가로 47cm, 세로 65cm의 완전 직사각형에 각 변의 길이가 다른 정사각형 10개를 채운 예입니다.
도전 과제
가로세로 33cm인 직사각형 안에 9개의 정사각형이 채워져 있는데, 각 정사각형의 변의 길이를 구하세요.
노트
도전 과제
학생들은 그림을 자세히 측정하여 변의 길이를 구할 수도 있지만, 문제 해결 과정을 통해 즐거움을 느낄 수 있을 것입니다.
시작하기 좋은 곳은 왼쪽 아래 모서리에 있는 6개의 정사각형입니다.
가장 작은 정사각형의 한 변의 길이를 n, 맨 아래 줄 가운데에 있는 정사각형(편의상 MB라고 함)의 한 변의 길이를 x라고 하자.
가장 작은 정사각형을 둘러싼 정사각형들은 가장 작은 정사각형을 중심으로 갈수록 변의 길이가 n씩 증가합니다. MB 위에 있는 정사각형의 변의 길이는 x – n이고, 왼쪽 아래 모서리에 있는 정사각형의 변의 길이는 x + n입니다. 또한 오른쪽 아래 모서리에 있는 정사각형의 변의 길이는 MB와 MB 위에 있는 정사각형의 변의 길이를 합한 것과 같으므로, 변의 길이는 x + (x – n) = 2x – n입니다. 이 그림의 맨 아래 "행"에 있는 정사각형들의 변의 길이의 합은 32이므로, 32 = (x + n) + x + (2x – n) = 4x이고, 따라서 x = 8입니다.
왼쪽 아래를 따라 쌓인 정사각형의 높이는 (x + n) + (x + 2n) = 2x + 3n입니다. 가운데 아래를 따라 쌓인 세 개의 정사각형의 높이는 x + (x – n) + 가운데 정사각형 = 2x – n + 가운데 정사각형입니다. 2x + 3n = 2x – n + 가운데 정사각형이므로 가운데 정사각형의 한 변의 길이는 4n입니다. n이 2이면 한 변의 길이가 8인 정사각형 두 개가 됩니다. n이 3 이상이면 가운데 정사각형이 너무 커집니다. 따라서 n = 1입니다.
x=8, n=1이고 직사각형의 크기가 33x32임을 알고 있다면 나머지 정사각형을 채우는 것은 자동으로 이루어집니다.
