Inveniendo Quadrata – 1
In hoc reticulo rubro delineata sunt duo quadrata unius per unum et unum quadratum duorum per duos cum lateribus horizontalibus et verticalibus.
PROVOCATIO
Numerum quadratorum omnium magnitudinum cum lateribus horizontalibus et verticalibus in hoc reticulo inveni.
QUAESITUM
Lude cum maioribus quadratis etiam. Num invenire potes modum systematicum ad omnia quadrata numeranda? Quomodo responsum tuum mutatur, si omnino mutatur, si quadratum quadratum rectangulum est?
Notes
PROVOCATIO
Quadra possibilia longitudines laterum ab 1 usque ad 4 habent.
Pro singulis quadratis magnitudinibus, angulum superiorem sinistrum ut positionem initialem cogita. Omnia quadrata huius magnitudinis in craticula producere potes hoc quadratum initialem movendo. Optionem habes illud ad dextram vel deorsum per numerum positionum reliquum movendi. Hae electiones independentes sunt, ergo accipis... quadratum quadrati illius magnitudinis.
Exempli gratia, finge te quadrata 1 per 1 in hac reticula 4 per 4 numerare. Quadratum 1 per 1 in angulo superiore sinistro uno vel duobus ad dextram et uno vel duobus deorsum moveri potest. Ergo tres positiones possibiles horizontaliter (positione originali computata) et tres positiones possibiles verticaliter sunt. Ergo tres per tres horum quadratorum 1 per 1 sunt.
Pro problemate originali quadrati 4 per 4, hoc numerum sequentem dat:
- Quadrata quattuor per quattuor: 3 x 3 = 9
- Quadrata quattuor per quattuor: 2 x 2 = 4
- Quadrata 3 per 3: 1 x 1 = 1.
Sunt in summa 3 x 3 + 2 x 2 + 1 x 1 = 9 + 4 + 1 = 14 quadrata possibilia.
QUAESITUM
Pro quolibet quadrato reticulo, numerus quadratorum totus erit summa numerorum quadratorum minorum quam magnitudo reticuli. Exempli gratia, reticulum 7 per 7 habebit 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91 quadrata.
Quadrata rectangula fere aeque facile numerantur. Minor ex duabus dimensionibus rectanguli maximam magnitudinem quadratorum possibilium coercebit. Simili modo quo in casu quadrati quadrati numera. Potius quam casum generalem, unum exemplum illustrativum tantum faciamus.
Finge te quadrata in reticulo quinque per septem numerare. Quia tantum quinque ordines sunt, nullum quadratum maius quam quattuor per quattuor esse potest.
- Quadrata quattuor per quattuor: 4 x 6 = 24
- Quadrata quattuor per quattuor: 3 x 5 = 15
- Quadrata quattuor per quattuor: 2 x 4 = 8
- Quadrata quattuor per quattuor: 1 x 3 = 3
Numerus quadratorum totus est 24 + 15 + 8 + 3 = 50.