समान बेरीज – १
आव्हान
येथे चार वर्तुळे एकमेकांवर ठेवून तयार केलेली एक आकृती आहे. या एकमेकांवर आलेल्या वर्तुळांमुळे आठ भाग तयार होतात. या आठही भागांमध्ये १ ते ८ या अंकांपैकी प्रत्येक अंक अचूकपणे एकदाच वापरून एक संख्या ठेवा, जेणेकरून प्रत्येक वर्तुळातील अंकांची बेरीज समान येईल.
अन्वेषण
तुम्हाला किती वेगवेगळी उत्तरे सापडतात? तुमच्या मते आणखी काही असू शकतात का? तुम्ही इतर संख्या श्रेणी वापरल्यास काय होते? एकमेकांना छेदणाऱ्या वर्तुळांसंबंधी यासारख्या इतर मनोरंजक समस्या आहेत का?
टिपा
आव्हान आणि शोध
सर्व वर्तुळांच्या सामायिक बेरजेसाठी कोणत्या संभाव्य बेरीज आहेत हे ठरवून सुरुवात करा. ती किंमत 'Sum' मानूया. A, B, C, आणि D ही दोन वर्तुळे एकमेकांना छेदणाऱ्या चार क्षेत्रांची मूल्ये आहेत असे मानूया. चार वर्तुळांची बेरीज 4 x Sum आहे, आणि ती 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D अशीही आहे. मग आपल्याला 4 x Sum = 36 + A + B + C + D हे समीकरण मिळते, म्हणून Sum = 9 + (A + B + C + D) / 4. A + B + C + D ची सर्वात लहान किंमत 1 + 2 + 3 + 4 = 10 असू शकते. ही किंमत विभाज्य असणे आवश्यक आहे, म्हणून तिची सर्वात लहान संभाव्य किंमत 12 आहे, म्हणजेच सर्वात लहान संभाव्य किंमत Sum = 9 + 12/4 = 12 आहे.
लक्षात घ्या की कोणत्याही उकलमधील सर्व संख्या 9 मधून वजा केल्यास ती उकल बदलता येते. असे केल्याने जुनी बेरीज 27 – बेरीज होईल. परिणामी, बेरजेसाठी फक्त 12, 13, 14 आणि 15 या संभाव्य किमती आहेत. 12 आणि 15 यांची बेरीज समान असल्यामुळे, आणि 13 व 14 यांची बेरीज समान असल्यामुळे, आपल्याला फक्त 12 आणि 13 साठी उकल तपासायची आहे.
येथे १२ आणि १३ या किमती असलेल्या बेरजेची उत्तरे दिली आहेत. असे दिसून येते की या दोन बेरजांसाठी हीच एकमेव उत्तरे आहेत.
लक्षात घ्या की एकमेकांना स्पर्श न करणाऱ्या वर्तुळांच्या केंद्रांमधील संख्यांची बेरीज समान येते. उदाहरणार्थ, सर्वात डावीकडील आकृतीमध्ये, 8 + 4 = 5 + 7. थोडे बीजगणित वापरून हे नेहमीच घडते हे सिद्ध करा. K आणि L ही दोन विरुद्ध वर्तुळांच्या केंद्रांमधील मूल्ये आहेत आणि M आणि N ही इतर दोन मूल्ये आहेत असे मानूया. जर आपण K आणि L साठी दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रांची बेरीज केली, तर आपल्याला 2 x बेरीज = K + L + (A + B + C + D) मिळते. त्याचप्रमाणे, M आणि N साठी दोन वर्तुळांच्या क्षेत्रांची बेरीज केल्यास 2 x बेरीज = M + N + (A + B + C + D) मिळते. यामुळे K + L = M + N हे समीकरण सिद्ध होते.
तसेच, लक्षात घ्या की 4 x Sum = 36 + A + B + C + D असल्याने, आपल्याला 2 x Sum = M + N + (4 x Sum – 36) मिळते. हे पुन्हा लिहिल्यास आपल्याला M + N = 36 – 2 x Sum असे मिळते. Sum च्या 12 ते 15 या चार किमतींसाठी, M + N च्या किमती 12, 10, 8 आणि 6 आहेत.
कारण 12 = 4 + 8 = 5 + 7 हेच 12 मिळवण्याचे एकमेव मार्ग आहेत, म्हणून बेरीज = 12 साठी वरील उकल ही एकमेव उकल आहे. जरी 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 यावरून बेरीज = 13 साठी अधिक शक्यता असल्याचे सूचित होत असले तरी, (2, 8), (3, 7), आणि (4, 6) या तीन संभाव्य जोड्यांची त्वरित तपासणी केल्यास असे दिसून येते की बेरीज = 13 साठी वरील उकल ही एकमेव आहे.