हप्ताका पजलहरू

चुनौती

ध्यान दिनुपर्ने एउटा कुरा के छ भने कुनै पनि n को लागि, सम्भावित समाधानहरूको सीमित संख्या हुन्छ। यदि 1/N = 1/A – 1/B, भने 1/A – 1/N = 1/B > 0। 1/A – 1/N > 0 को अर्थ N > A हो। त्यसैले, 1 < A < N, जसको अर्थ अधिकतम N – 2 समाधानहरू छन्, र तिनीहरूलाई त्यो दायरामा A को सबै मानहरू जाँच गरेर केही हदसम्म थकाइलाग्दो रूपमा फेला पार्न सकिन्छ।

सम संख्या भएका हरहरूको लागि, मानौं 2d, त्यहाँ सधैं 1/2d = 1/d – 1/2d हुन्छ।

भिन्नताहरू उत्पन्न गर्ने अर्को तरिका भनेको जोड सूत्रबाट सुरु गर्नु हो। हामीसँग भएको सबैभन्दा सरल सूत्र भनेको 1/n = 1/(n+1) + 1/[n(n+1)] हो। यो 1/(n+1) = 1/n – 1/[n(n+1)] बन्छ। यसको अझ सामान्य संस्करण 1/ab = 1/[a(a+b)] + 1/[b(a+b)] हो जुन 1/[a(a+b)] = 1/ab – 1/[b(a+b)] बन्छ जहाँ ab > 1 हुन्छ।

त्यसैले, जब पनि हरलाई a(a+b) को रूपमा गुणनखण्ड गर्न सकिन्छ, a र b धनात्मक र ab > 1 सँग, हामीसँग भिन्नता हुनेछ। विशेष गरी, किनभने प्रत्येक संख्या n > 2 लाई n = 1 x (1 + (n-1)) को रूपमा लेख्न सकिन्छ, त्यसपछि प्रत्येक इजिप्टियन अंशलाई कम्तिमा एक तरिकाले भिन्नताको रूपमा लेख्न सकिन्छ। यहाँ केही उदाहरणहरू छन्:

• ⅓: a = 1, b = 2 ले ½ – ⅙ दिन्छ
• ¼: a = 1, b = 3 ले ⅓ – 1/12 दिन्छ
• ⅕: a = १, b = ४ ले ¼ – १/२० दिन्छ
• ⅙: a = १, b = ५ ले ⅕ – १/३० दिन्छ; a = २, b = १ ले ½ – ⅓ दिन्छ
• १/७: a = १, b = ६ ले ⅙ – १/४२ दिन्छ
• ⅛: a = १, b = ७ ले १/७ – १/५६ दिन्छ; a = २, b = २ ले ¼ – १/८ दिन्छ

यो सबै कुरा होइन। उदाहरणका लागि, हामीले ⅙ = ¼ – १/१२ छुटाएका छौं।

केही बीजगणितमा डुब्दै, a > 1 र b > a > 1 को लागि, 1/n = 1/a – 1/b = (b – a) / ab लाई विचार गर्नुहोस्। भाजकहरू खाली गर्दा ab = n(ba) उत्पादन हुन्छ, र n को लागि समाधान गर्दा n = ab/(ba) प्राप्त हुन्छ। जब हामी a र b फेला पार्न सक्छौं जसले यो काम गर्छ, हामी भिन्नता उत्पादन गर्न सक्षम हुनेछौं।

यस दृष्टिकोणबाट केही उदाहरणहरूको लागि पूर्ण समाधानहरू हेरौं र हामी ढाँचा भेट्टाउन सक्छौं कि भनेर हेरौं।

• ७ = ६ x ४२ / (४२ – ६)
• ४ = २ x ४ / (४ -२) = ३ x १२ / (१२ – ३)
• ७ = ६ x ४२ / (४२ – ६)
• ६ = २ x ३ / (३ – २) = ३ x ६ / (६ – ३) = ४ x १२ / (१२ – ४) = ५ x ३० / (३० – ५)
• ७ = ६ x ४२ / (४२ – ६)
• ८ = ४ x ८ / (८ – ४) = ६ x २४ / (२४ – ६) = ७ x ५६ / (५६ – ७)

यी उदाहरणहरू हेर्दा, n अभाज्य हुँदा एउटा मात्र समाधान हुन्छ जस्तो लाग्छ। किन यस्तो हुन्छ भनेर हेरौं। यदि n अभाज्य हो र < n हो भने, n = axb / (b – a) ले b लाई n को गुणन बनाउन बाध्य पार्छ, मानौं b = nx c। त्यसपछि n = ax nc / (nc – a) ले भन्छ कि ac / (nc – a) = 1, जसको अर्थ ac = nc – a हो। यसलाई पुन: लेख्दा हामीले nc = a(c + 1) पाउँछौं। किनभने n अभाज्य हो, हामीसँग c + 1 = n र a = c = n – 1 छ। त्यसैले a = n – 1 र b = n(n-1) मात्र समाधान हो।