Tegelrechthoeken
Je hebt twee puzzels. Op hoeveel manieren kun je een rechthoek van 1 bij n vullen met een mix van vierkanten van 1 bij 1 en rechthoeken van 1 bij 2? Op hoeveel manieren kun je een rechthoek van 2 bij n vullen met rechthoeken van 1 bij 2?
DE UITDAGING
Waarom geven deze twee puzzels dezelfde antwoorden? Wat zijn de antwoorden als de rechthoeken die ingevuld moeten worden 10 lang zijn? En hoe zit het als ze 20 lang zijn?
EXPLORATION
In welke opzichten lijken deze twee problemen op elkaar en op eerdere puzzels? Wat verandert er in de 1xn-puzzel als we in plaats daarvan 1x1- en 1x3-stukjes gebruiken? Wat verandert er in de 1xn-puzzel als we 1x1-, 1x2- en 1x3-stukjes gebruiken?
Notes
DE UITDAGING
Inzicht in hoe je eerdere resultaten kunt toepassen op een deel of het geheel van een nieuwe puzzel is een waardevolle vaardigheid.
Deze twee puzzels zijn in wezen identiek. De verticale stukken in de rechthoek van 2 x n komen overeen met de stukken van 1 x 1 in de rechthoek van 1 x n, en de horizontale stukken in de rechthoek van 2 x n komen overeen met de stukken van 1 x 2 in de rechthoek van 1 x n. Er is dus eigenlijk geen verschil tussen de twee puzzels.
Het 1 x n rechthoekpuzzel is precies hetzelfde als de stappenpuzzel in "Fibonacci - 2". Eén stap tegelijk zetten is alsof je een vierkant van 1 bij 1 plaatst, en twee stappen tegelijk zetten is alsof je een rechthoek van 1 bij 2 plaatst. De twee puzzels zijn identiek, dus de analyse en de resultaten zijn ook hetzelfde.
EXPLORATION
Als we rechthoeken van 1 bij 1 en 1 bij 3 gebruiken, verandert er veel. Kijk naar de eerste paar waarden en bedenk hoe ze berekend worden. We krijgen 1, 1, 2, 3, 4, 6 en 9 voor de eerste paar waarden. Over het algemeen is de volgende waarde de som van de huidige waarde en de waarde twee stappen daarvoor. Het is eenvoudig genoeg om te berekenen, maar het is niet langer de Fibonacci-reeks.
Als we de getallen vermenigvuldigen met 1, 2 en 3, verandert de situatie nog drastischer. De eerste paar waarden zijn nu 1, 2, 4, 7, 13 en 24. De volgende waarde in de reeks is de som van de drie voorgaande waarden.
Reeksen zoals deze, waarbij de volgende termen worden bepaald door een formule die de voorgaande termen omvat, worden recursieve reeksen genoemd. De Fibonacci-getallen zijn niet de enige recursieve reeks, maar waarschijnlijk wel de bekendste.