Unngå rektangler – 2
X-ene i et rutenett kan bli hjørnene på rektangler med horisontale og vertikale sider. X-ene i dette første rutenettet danner to rektangler. Målet er imidlertid å unngå å lage rektangler. X-ene i det andre rutenettet er plassert for å unngå å danne rektangler.
UTFORDRINGEN
Plasser så mange X-er som mulig i dette 4 x 4-rutenettet, og unngå å lage rektangler.
UTFORSKNING
Hva er det maksimale du kan ha for andre størrelser på rutenett? Ser du noen mønstre i svarene dine?
Merknader
UTFORDRINGEN
Å løse dette generelt er et veldig vanskelig, uløst problem i matematikk. Det bør imidlertid ikke hindre en elev i å leke med det og lære mye interessant underveis.
Anta at rutenettet har m rader og n kolonner. I Unngå rektangler – 1 fant vi følgende resultater for de beste svarene.
1. og 2. rad: Vi hadde m + n – 1 X
3 rader: Vi hadde m + n X-er ved å bruke et startdiagram for et 3 x 3-rutenett som så ut som følgende diagram. Ved å bruke det diagrammet, hvis vi hadde 3 rader med flere kolonner, kan vi bare legge til én X i hver ny kolonne.
3 x 3-tilfellet krevde et annet utseende enn strategien med 1 og 2 rader, og det er fristende å tro at eksemplene med 4 eller flere rader også vil kreve litt nytenkning. For å slå fast det åpenbare, ønsker vi å lage en samling kolonner som aldri deler et par rader med X-er i seg.
En strategi er å fylle ut alt i den venstre kolonnen unntatt den nederste firkanten, og deretter har resten av kolonnene én X i den nederste raden og én X i en annen rad. Dette vil alltid fungere og produserer (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X-er for et m ganger m kvadratisk rutenett. Denne metoden for å fylle ut firkanten kan deretter utvides (ved å legge til én enkelt X i hver ny kolonne) til alt med m rader for å gi 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X-er, når m < n. Denne formelen fungerer for alle svarene for rutenett av alle størrelser (med mer enn 1 rad) så langt.
UTFORSKNING
Hvis du leter etter de beste svarene på nettet, ser du at du kan lage 12 X-er for 5 x 5-saken (som du kan få ved å bruke mønsteret), og deretter 16 X-er for 6 x 6-saken (vist her).
Etter det er tallene som starter med 7 ganger 7 i rekkefølge: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 og 122. Matematikere har gjort mange interessante undersøkelser av hvordan disse fungerer, og matematikerne dine kan ha det mye moro med det også!
