Like summer – 4
UTFORDRINGEN
Her er et diagram laget ved å overlappe fire sirkler. De overlappende sirklene lager åtte områder. Sett et tall i hvert av de åtte områdene, og bruk hvert av tallene 1 til 8 nøyaktig én gang, slik at summen av tallene i hver sirkel er den samme.
UTFORSKNING
Hvor mange forskjellige svar kan du finne? Tror du det finnes flere? Hva skjer hvis du bruker andre tallområder? Finnes det andre interessante problemer som dette med kryssende sirkler?
Merknader
UTFORDRINGEN OG UTFORSINGEN
Start med å bestemme hvilke summer som er mulige for den felles summen for alle sirkler. La Sum være den verdien. La A, B, C og D være verdiene til de fire områdene der to sirkler skjærer hverandre. Summen av de fire sirklene er 4 x Sum, og den er også 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + A + B + C + D. Da har vi ligningen 4 x Sum = 36 + A + B + C + D, så Sum = 9 + (A + B + C + D) / 4. Den minste verdien A + B + C + D kan ha er 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Dette må være delelig, så den minste mulige verdien er 12, som betyr at den minste mulige verdien er Sum = 9 + 12/4 = 12.
Merk at enhver løsning kan gjøres om til en annen løsning ved å trekke fra alle oppføringer fra 9. Dette vil gjøre den gamle summen om til 27 – Sum. Følgelig er de eneste mulige verdiene for Sum 12, 13, 14 og 15. Fordi 12 og 15 er knyttet sammen, og 13 og 14 er knyttet sammen, trenger vi bare å sjekke for løsninger for 12 og 13.
Her er løsninger for Sum med verdiene 12 og 13. Det viser seg at disse er de eneste for disse to summene.
Legg merke til at tallene i sentrum av sirkler som ikke berører hverandre summerer seg til det samme. For eksempel, i diagrammet lengst til venstre er 8 + 4 = 5 + 7. Bevis at dette alltid skjer med litt algebra. La K og L være verdiene i sentrum av to av de motsatte sirklene, og la M og N være de to andre verdiene. Hvis vi legger sammen områdene for de to sirklene for K og L, får vi 2 x Sum = K + L + (A + B + C + D). På samme måte gir det å legge sammen områdene for de to sirklene for M og N 2 x Sum = M + N + (A + B + C + D). Dette tvinger K + L = M + N.
Merk også at siden 4 x Sum = 36 + A + B + C + D, får vi 2 x Sum = M + N + (4 x Sum – 36). Ved å omskrive dette har vi M + N = 36 – 2 x Sum. For våre fire verdier av Sum, 12 til 15, er verdiene av M + N 12, 10, 8 og 6.
Fordi 12 = 4 + 8 = 5 + 7 er de eneste måtene å få 12 på, er løsningen ovenfor for Sum = 12 den eneste løsningen. Mens 10 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 antyder at det finnes flere muligheter for Sum = 13, viser en rask sjekk av de tre mulige parene (2, 8), (3, 7) og (4, 6) at løsningen ovenfor er den eneste for Sum = 13.