Unikanie prostokątów – 2
Krzyżyki w siatce mogą stanowić narożniki prostokątów o bokach poziomych i pionowych. Krzyżyki w pierwszej siatce tworzą dwa prostokąty. Celem jest jednak uniknięcie tworzenia prostokątów. Krzyżyki w drugiej siatce są rozmieszczone tak, aby uniknąć tworzenia jakichkolwiek prostokątów.
WYZWANIE
Umieść tyle krzyżyków, ile możesz, w siatce 4 na 4 i unikaj tworzenia prostokątów.
POSZUKIWANIE
Jaki jest maksymalny wynik, jaki możesz uzyskać dla innych rozmiarów siatek? Czy dostrzegasz jakieś prawidłowości w swoich odpowiedziach?
Komentarz
WYZWANIE
Rozwiązanie tego problemu jest generalnie bardzo trudnym, nierozwiązanym problemem matematycznym. Nie powinno to jednak powstrzymywać ucznia od eksperymentowania z nim i uczenia się przy okazji wielu ciekawych rzeczy.
Załóżmy, że siatka ma m wierszy i n kolumn. W części 1 „Unikanie prostokątów” znaleźliśmy następujące wyniki dla najlepszych odpowiedzi.
Wiersze 1 i 2: Mieliśmy m + n – 1 X-ów
3 wiersze: Mieliśmy m + n X-ów, używając diagramu startowego dla siatki 3x3, który wyglądał jak poniższy. Używając tego diagramu, jeśli mielibyśmy 3 wiersze z większą liczbą kolumn, moglibyśmy po prostu dodać jeden X w każdej nowej kolumnie.
Przypadek 3x3 wymagał innego podejścia niż strategia 1 i 2 wierszy i kuszące jest myślenie, że przykłady z 4 lub większą liczbą wierszy również będą wymagały nowego podejścia. Mówiąc wprost, chcemy utworzyć zbiór kolumn, które nigdy nie będą miały wspólnej pary wierszy z X-ami.
Jedną ze strategii jest wypełnienie wszystkiego w skrajnie lewej kolumnie z wyjątkiem dolnego kwadratu, a następnie pozostałe kolumny mają jeden X w dolnym wierszu i jeden X w innym wierszu. To zawsze zadziała i da (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X dla siatki kwadratów m na m. Tę metodę wypełniania kwadratu można następnie rozszerzyć (dodając pojedynczy X w każdej nowej kolumnie) na dowolną siatkę z m wierszami, aby uzyskać 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X, gdy m < n. Ten wzór działa dla wszystkich odpowiedzi dla siatki dowolnego rozmiaru (z więcej niż jednym wierszem) do tej pory.
POSZUKIWANIE
Szukając najlepszych odpowiedzi online, można wykonać 12 X-ów dla przypadku 5 na 5 (co można uzyskać, korzystając ze wzoru), a następnie 16 X-ów dla przypadku 6 na 6 (pokazanego tutaj).
Następnie liczby zaczynające się od 7 na 7 w kolejności to: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 i 122. Matematycy przeprowadzili wiele interesujących badań nad tym, jak te liczby działają, a Wasi matematycy również mogą się przy tym świetnie bawić!
