Bloki pudełkowe
WYZWANIE
Drewniane pudełko bez pokrywki zawiera zbiór 64 klocków o wymiarach 4 x 4 x 4. Ile klocków dotyka jakiejś części pudełka?
POSZUKIWANIE
Co się stanie ze zbiorem 125 klocków o wymiarach 5 x 5 x 5 w większym pudełku? Co z pudełkami o innych rozmiarach? Jak zmienią się te odpowiedzi, jeśli pudełka będą miały pokrywkę, która dotyka górnego rzędu klocków?
Komentarz
WYZWANIE
Istnieją różne sposoby rozwiązania tego problemu.
- Wyobraź sobie rdzeń o wymiarach 2 x 2 x 3 = 12 bloków, które nie dotykają boków.
- Gdyby pudełko miało pokrywkę, znajdowałoby się w nim 2 x 2 x 2 = 8 klocków nie dotykających pudełka. Oprócz tych 8 klocków, znajdowałyby się tam również 2 x 2 x 1 = 4 klocki dotykające tylko pokrywki.
- Możesz dodać klocki wzdłuż boków i odjąć je od sumy 4 x 4 x 4 = 64. To najtrudniejszy sposób. Na dnie pudełka znajduje się 4 x 4 x 1 = 16 klocków. Po bokach pudełka znajduje się 3 x 12 = 36 klocków, które nie dotykają dna. Zatem w środku znajduje się 64 – (16 + 36) = 12 klocków.
POSZUKIWANIE
Spójrz na nie tylko za pomocą pierwszej metody. 5 x 5 x 5. Bez pokrywki, 3 x 3 x 4 = 36 klocków nie styka się z pudełkiem. Z pokrywką, 3 x 3 x 3 = 27 klocków nie styka się ze sobą.
axbxc, gdzie c to wysokość. Załóżmy, że każda z tych liczb wynosi co najmniej trzy. Bez pokrywy a i b są zmniejszone o 2, a c o 1, więc mamy bloki (a – 2) x (b – 2) x (c – 1). Z pokrywą bloki (a – 2) x (b – 2) x (c – 2) się nie stykają.