Równe sumy – 2
WYZWANIE
Oto diagram utworzony przez nałożenie na siebie trzech okręgów. Nakładające się okręgi tworzą sześć obszarów. Wpisz liczbę w każdym z sześciu obszarów, używając każdej z liczb od 1 do 6 dokładnie raz, tak aby suma liczb w każdym okręgu była taka sama.
POSZUKIWANIE
Ile różnych odpowiedzi potrafisz znaleźć? Skąd wiesz, że znalazłeś je wszystkie?
Komentarz
WYZWANIE I EKSPLORACJA
Oto cztery rozwiązania. Aby zrozumieć, dlaczego są to jedyne, niech A, B i C będą trzema obszarami, w których przecinają się dwa okręgi, a Suma niech będzie wspólną sumą dla tych trzech okręgów. Oblicz sumę całkowitą na dwa sposoby. Suma trzech okręgów wynosi 3 x Suma. Suma wszystkich sześciu liczb plus A, B i C wynosi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + A + B + C. Te dwie liczby są równe, więc daje nam to 3 x Suma = 21 + A + B + C. Dzieląc przez 3, otrzymujemy Sumę = 7 + (A + B + C)/3.
Aby Suma była liczbą całkowitą w tym ostatnim równaniu, A + B + C musi dzielić się bez reszty przez 3. Oznacza to, że A + B + C może przyjmować tylko cztery wartości – 6, 9, 12 lub 15, a odpowiadające im wartości Suma to 9, 10, 11 lub 12.
Cztery podane tutaj rozwiązania mają wartości sumaryczne wynoszące 9, 10, 11 i 12. Jak zobaczymy, są to wszystkie rozwiązania!
Aby zaoszczędzić trochę pracy, zauważ, że jeśli weźmiemy jedno rozwiązanie i odejmiemy wszystkie wpisy od 7, otrzymamy kolejne rozwiązanie. Zauważ również, że nowe rozwiązanie będzie miało wartość sumy równą 21 – (stara suma). Zatem rozwiązania dla wartości sumy 9 i 10 dają nam rozwiązania dla wartości sumy 11 i 12.
Jeśli A + B + C = 6, wówczas A, B i C wynoszą 1, 2 i 3, a suma = 9. Jest to rozwiązanie w lewym górnym rogu.
Jeśli A + B + C = 9, to Suma = 10, a (A, B, C) to (1, 2, 6), (1, 3, 5) lub (2, 3, 4). Po sprawdzeniu okazuje się, że (1, 2, 6) i (2, 3, 4) są niemożliwe. Pozostaje więc rozwiązanie w prawym górnym rogu jako jedyne rozwiązanie Suma = 10.
Jeśli porównasz „Równe sumy – 2” z „Magicznymi trójkątami – 1”, zobaczysz, że to ta sama łamigłówka!