Wypełnianie kwadratów kwadratami
Oto jak wypełnić jeden duży kwadrat za pomocą 1, 4 lub 7 kwadratów.
WYZWANIE
Znajdź inną liczbę kwadratów do wypełnienia dużego kwadratu. Czy potrafisz to zrobić dla 2, 3, 5, 6, 8, 9 lub 10 kwadratów?
POSZUKIWANIE
Jeśli to możliwe, znajdź więcej niż jeden sposób uzyskania niektórych z tych liczb.
Komentarz
WYZWANIE
Oto systematyczny sposób tworzenia różnych zestawień.
Kwadraty: Dobrym punktem wyjścia są liczby kwadratowe. Łatwo jest wypełnić kwadrat 1, 4 i 9 polami, wypełniając go odpowiednio wzorem 1 na 1, 2 na 2 i 3 na 3.
Liczby parzyste: Po kilku eksperymentach możesz stworzyć wzory dla 6, 8, 10 lub dowolnej innej większej liczby parzystej w następujący sposób. Zacznij od dużego kwadratu, a następnie umieść mniejsze kwadraty wokół dwóch jego boków, jak na tych rysunkach.
Zastępowanie jednego kwadratu: Kolejnym ważnym krokiem jest sprawdzenie, czy dowolny kwadrat w rozwiązaniu można zastąpić dowolnym innym istniejącym rozwiązaniem. Na przykład, zrobiono to podczas tworzenia wzoru dla liczby 7 we wstępie – kwadrat w prawym dolnym rogu dla liczby „4” został zastąpiony czterema mniejszymi kwadratami, tworząc „7”.
Za każdym razem, gdy jeden kwadrat zostanie zastąpiony czterema kwadratami, całkowita liczba kwadratów wzrośnie o 3. Zacznij od listy rozwiązań, używając liczb kwadratowych i parzystych: 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 i 16, a następnie dodaj 3 do każdego wpisu na tej liście, aby uzyskać 4, 7, 9, 11, 12, 13, 15 i 17. Połączenie tych dwóch list daje wszystkie możliwości do 17: 1, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 i 17. Korzystając z tych pomysłów, każda liczba powyżej 17 jest dość łatwa, więc dochodzimy do wniosku, że:
Odpowiedź: Możliwa jest każda liczba oprócz 2, 3 i 5.
POSZUKIWANIE
Niektóre z tych liczb można przedstawić na więcej niż jeden sposób. Na przykład, 9 można przedstawić jako wzór 3x3 lub jako 6 plus trzy kolejne.
Istnieje wiele innych wzorów, które można stworzyć, ale nie w taki sam sposób, jak te przykłady. Na przykład, możesz zacząć od kwadratu 4x4 i grupować zbiory kwadratów 2x2 w pojedyncze kwadraty 2x2 – za każdym razem zmniejszając całkowitą liczbę kwadratów o 3.