Znajdowanie kwadratów – 2
Na siatce na czerwono narysowano dwa kwadraty o wymiarach 1 na 1 i jeden kwadrat o wymiarach 2 na 2 z bokami poziomymi i pionowymi.
WYZWANIE
Znajdź liczbę kwadratów o różnych rozmiarach i orientacjach w tej siatce. W przeciwieństwie do tego, co pokazano we wstępie, nie wszystkie kwadraty będą miały boki poziome i pionowe!
POSZUKIWANIE
Poeksperymentuj z tym, co się stanie w przypadku większych siatek i siatek, które nie są kwadratami.
Komentarz
WYZWANIE
Możliwe kwadraty o bokach poziomych i pionowych mają długość boku od 1 do jednego mniejszą od liczby wierszy/kolumn.
Dla każdego rozmiaru kwadratu, potraktuj lewy górny róg jako pozycję początkową. Możesz utworzyć wszystkie kwadraty tego rozmiaru w siatce, przesuwając ten kwadrat początkowy. Możesz przesunąć go w prawo lub w dół o pozostałą liczbę pozycji. Są to niezależne opcje, więc otrzymujesz kwadrat o tym rozmiarze.
Załóżmy na przykład, że liczymy kwadraty 2x2 w siatce 5x5. Kwadrat 2x2 w lewym górnym rogu można przesunąć o 1 lub 2 w prawo i o 1 lub 2 w dół. Mamy więc 3 możliwe położenia w poziomie (licząc położenie początkowe) i 3 możliwe położenia w pionie. W rezultacie mamy 3 x 3 kwadraty 1x1.
W przypadku oryginalnego problemu z siatką 5 na 5, liczba kwadratów o bokach poziomych i pionowych jest następująca:
- Kwadraty 1 na 1: 4 x 4 = 16
- Kwadraty 2 na 2: 3 x 3 = 9
- Kwadraty 3 na 3: 2 x 2 = 4
- Kwadraty 4 na 4: 1 x 1 = 1.
Łącznie istnieje 16 + 9 + 4 + 1 = 30 możliwych kwadratów o bokach poziomych i pionowych.
Sztuczka z pozostałymi kwadratami polega na tym, aby zachować porządek w liczeniu. Opiszę kwadrat, określając, co robi jeden z jego boków. Na przykład kwadrat, którego bok jest o jeden w prawo i o jeden w górę, lub kwadrat, którego bok jest o dwa w prawo i o jeden w górę – to dwa z kwadratów przedstawionych na tej ilustracji.
Licząc przez przesuwanie jak poprzednio mamy:
- 1 w prawo i 1 w górę: 3 x 3 = 9
- 2 w prawo i 1 w górę: 2 x 2 = 4
- 3 w prawo i 1 w górę: 1 x 1 = 1
- 2 w lewo i 1 w górę: 2 x 2 = 4
- 3 w lewo i 1 w górę: 1 x 1 = 1
- 2 w prawo i 2 w górę: 1 x 1 = 1
Suma wynosi zatem: 30 (z wcześniejszej liczby) + 9 + 4 + 1 + 4 + 1 = 49.
POSZUKIWANIE
Możesz wypróbować inne rozmiary, jeśli znajdziesz zorganizowany system liczenia!