Idealne prostokąty – 1
Prostokąt, który można wypełnić kwadratami, z których żadne dwa nie mają tego samego rozmiaru, nazywa się prostokątem idealnym. Oto przykład prostokąta idealnego o wymiarach 47 na 65, wypełnionego 10 kwadratami o różnych rozmiarach.
WYZWANIE
Znajdź rozmiary kwadratów w tym idealnym prostokącie o wymiarach 33 na 32, w którym znajduje się 9 kwadratów.
Komentarz
WYZWANIE
Twoi uczniowie mogą dokładnie zmierzyć diagram, aby ustalić odpowiednie rozmiary, ale miejmy nadzieję, że spodoba im się wyzwanie polegające na rozwiązywaniu problemów.
Dobrym miejscem na początek jest sześć kwadratów znajdujących się w lewym dolnym rogu.
Niech n będzie rozmiarem najmniejszego kwadratu, a x rozmiarem kwadratu w środku dolnego rzędu (nazwijmy go w skrócie MB).
Kwadraty otaczające najmniejszy kwadrat zwiększają swój rozmiar o n, gdy okrążają najmniejszy kwadrat. Kwadrat na górze MB ma rozmiar x – n, a kwadrat w lewym dolnym rogu ma rozmiar x + n. Również kwadrat w prawym dolnym rogu ma łączny rozmiar MB i kwadratu na górze MB, więc jego rozmiar to x + (x – n) = 2x – n. Rozmiary kwadratów w dolnym „rzędzie” tego diagramu sumują się do 32, więc 32 = (x + n) + x + (2x – n) = 4x, co oznacza x = 8.
Stos w lewym dolnym rogu ma wysokość (x + n) + (x + 2n) = 2x + 3n. Stos trzech kwadratów w środku na dole ma wysokość x + (x - n) + środkowy kwadrat = 2x – n + środkowy kwadrat. Ponieważ 2x + 3n = 2x – n + środkowy kwadrat, środkowy kwadrat ma rozmiar 4n. Jeśli n wynosi 2, mielibyśmy dwa kwadraty o rozmiarze 8. Jeśli n wynosi 3 lub więcej, ten środkowy kwadrat byłby za duży. Zatem n = 1.
Przy x = 8 i n = 1 oraz wiedząc, że rozmiar prostokąta wynosi 33 na 32, uzupełnienie pozostałych kwadratów nastąpi automatycznie.
