Agosto de 2024

Notícias

Desenvolvimento Profissional – Um grande distrito escolar no Canadá entrou em contato com a EFM para realizar apresentações de desenvolvimento profissional. Se você tiver interesse em participar de um programa de desenvolvimento profissional da EFM, Vamos combinar algo.De modo geral, se você estiver disposto a arcar com as despesas de viagem e fornecer feedback sobre os materiais do EFM, terei prazer em visitar seu distrito para realizar apresentações e workshops. Já tenho dois temas definidos: um sobre aprendizagem lúdica na sala de aula e em casa, e outro sobre exploração de problemas na sala de aula.

Doações – As doações para a EFM vêm de todos os valores e origens. Recebemos doações de US$ 10 a US$ 5000, e também já tivemos funcionários que receberam doações de seus empregadores, no valor de US$ 200 e US$ 250. Faça uma doação para a EFM e ajude a melhorar o ensino da matemática na primeira infância!

Cartas de jogo Puzzle Temos um grande estoque de baralhos de cartas com quebra-cabeças para alunos do jardim de infância ao 3º ano e do 2º ao 5º ano, em inglês e espanhol. O custo é de apenas US$ 3 por baralho e ficaremos felizes em discutir a possibilidade de subsídios para escolas. Acesse [link para o site]. nossa página de pedidos se você estiver interessado neles.

Aplicativo para professores iniciantes de matemática básica Além do aplicativo móvel da EFM para famílias, a EFM gostaria de desenvolver um aplicativo móvel gratuito para educadores. Este novo aplicativo seria voltado para professores iniciantes de matemática em todo o mundo que possuem treinamento e recursos limitados. Esperamos adaptar nosso extenso conjunto de materiais atual para torná-los úteis nesse contexto. No entanto, precisamos de orientações sobre como esses materiais devem ser apresentados nos EUA (talvez em algumas regiões do programa Head Start) e em outras comunidades ao redor do mundo. Entre em contato comigo Se você tiver interesse em colaborar neste projeto.

Teoria dos Grafos para Crianças em Idade Pré-Escolar

Nas duas últimas newsletters, falei sobre maneiras de você e seu filho brincarem com Topologia. Este mês, gostaria de abordar o tema da Teoria dos Grafos. Os grafos aos quais me refiro não são aqueles usados ​​para representar dados em análises – veremos esses em uma newsletter futura.

Esses gráficos consistem em pontos, denominados nós, alguns pares dos quais são conectados por linhas, denominadas bordasUm nó grau é o número de arestas que se conectam a ele. Um gráfico planar Um gráfico é aquele que pode ser desenhado em uma folha de papel sem que nenhuma de suas bordas se cruze. Os gráficos são, às vezes, coisas abstratas, que são divertidas de se explorar por si só, e, outras vezes, são uma forma de compreender e analisar uma situação física sem se distrair com informações irrelevantes. Aqui está um exemplo de um gráfico desse tipo.

O tema da Teoria dos Grafos não se presta a jogos multijogador, com uma exceção – há dois meses, no boletim de junho Eu abordei o jogo Sprouts, que é um jogo para 2 jogadores envolvendo grafos planares. No entanto, a Teoria dos Grafos tem muitos quebra-cabeças divertidos, muitos dos quais apresentarei hoje.

O primeiro enigma é o mais famoso e frequentemente citado como o início da Teoria dos Grafos e do campo da topologia. Analisar esse enigma demonstra a força de se pegar uma situação e representá-la como um grafo abstrato.

As Sete Pontes de Königsberg

Conta-se que os habitantes de Königsberg se orgulhavam de suas sete pontes e queriam fazer um desfile que cruzasse cada uma delas exatamente uma vez. Ninguém conseguia pensar em uma maneira de fazer isso. Eis o enigma, conforme descrito em uma das... Cartas de quebra-cabeça da EFM.

Eu também mencionei esse enigma no meu boletim informativo de março de 2023. Nele, a ênfase era em pegar situações matemáticas e envolvê-las em boas histórias para torná-las envolventes. Leonhard Euler ajudou a estabelecer a Teoria dos Grafos ao apresentar uma palestra sobre esse enigma em 1735.

Neste problema, as distâncias e formas reais dos objetos são irrelevantes. A essência do problema é modelada como um grafo simples, onde cada área de terra é um nó e cada uma das sete pontes é uma aresta.

Sim, o enigma é impossível, mas por quê? Descobrir o porquê é a parte divertida. Para explorar isso, use uma das estratégias mais importantes para a resolução de problemas: Aprenda com versões mais simples do problema e faça muitos exemplos. Enfatize a utilidade dessa estratégia para seu filho e veja se ele consegue criar seus próprios exemplos. Aqui estão alguns, mas existem muitos outros. Tente criar rotas de desfile para cada exemplo e observe onde os desfiles devem começar e terminar, e se são possíveis. Que padrões você consegue encontrar e que conjecturas você consegue formular?

Quebra-cabeça de 5 salas – Problemas de cruzamento de linhas

Existem muitos quebra-cabeças de cruzamento de linhas por aí. Este é talvez o mais popular desse tipo. O desafio é desenhar uma linha contínua que cruze todas as bordas deste diagrama exatamente uma vez. O exemplo a seguir mostra um caminho que não funciona.

Represente isso como um gráfico onde os nós são os interiores dos retângulos mais um nó adicional para toda a região externa, e as arestas representam a travessia de cada um dos lados individuais do diagrama. Embora o gráfico seja um pouco complexo (não é meu melhor trabalho), se você aplicar o que aprendeu sobre o enigma das Pontes de Königsberg a este gráfico, verá que é muito fácil analisá-lo.

Caminhos em Grafos

Esses dois primeiros quebra-cabeças são exemplos dos desafios de encontrar caminhos em grafos. Matemáticos adoram definir coisas e dar nomes a elas, e este caso não é exceção. Um caminho que percorre cada aresta de um grafo exatamente uma vez é chamado de... Caminho EulerianoSe o caminho também começa e termina no mesmo ponto, ele é chamado de... Circuito euleriano.

Como Euler e outros estudaram, e como você pode ter acabado de analisar nos dois últimos quebra-cabeças, a chave para encontrar caminhos e circuitos eulerianos é contar o número de nós que têm grau ímpar.

Você pode criar gráficos interessantes e desafiar uns aos outros a encontrar um caminho euleriano. Saber onde o caminho começa e termina ajuda bastante. Experimente este:

A Caminho hamiltoniano é aquele que visita cada nó exatamente uma vez. Se o caminho começa e termina no mesmo lugar, é chamado de circuito hamiltoniano.

Em geral, ao contrário dos caminhos eulerianos, não é tão fácil dizer se um caminho hamiltoniano existirá para um determinado grafo.

O problema do percurso do cavalo é um exemplo desse tipo de desafio. Imagine um cavalo de xadrez posicionado em uma das casas de um tabuleiro de xadrez de dimensões n x m. É possível que o cavalo visite cada casa do tabuleiro exatamente uma vez? Ele consegue retornar ao ponto de partida ao final do percurso? Isso pode ser transformado em um problema de Caminho Hamiltoniano, criando um grafo cujos nós representam as casas do tabuleiro e que possui uma aresta entre dois nós se houver um movimento do cavalo entre eles.

Um problema clássico de caminho hamiltoniano é o Problema do Caixeiro Viajante (PCV). Suponha que alguém queira visitar todas as cidades em uma rota de vendas e suponha ainda que as arestas que conectam algumas das cidades mostrem os tempos de viagem (ou distâncias ou custos) entre elas. Como encontrar um circuito hamiltoniano que minimize o tempo total de viagem (ou distância ou custo)? Caminhões de entrega lidam com uma versão desse problema todos os dias.

Nesses dois gráficos, cada aresta é rotulada com um "custo" para percorrer essa aresta. O desafio do TSP é encontrar um circuito hamiltoniano com o menor custo total possível. Você e seu filho podem criar mapas um para o outro e desafiar o outro a encontrar o melhor circuito possível no mapa. Use números e tamanhos de mapa adequados ao nível de habilidade do seu filho.

Apertos de mão e conhecidos

Imagine que há 8 pessoas em uma festa e que alguns cumprimentos acontecem. O EFM tem vários Desafios da Semana que abordam essa situação. Modele isso usando 8 nós, um para cada pessoa. Crie uma aresta entre duas pessoas se elas se cumprimentarem com um aperto de mãos. Você pode usar esse mesmo tipo de modelo onde as arestas representam pessoas que se conhecem ou que são parentes.

No modelo de aperto de mãos, o grau de cada nó, que é a contagem de suas arestas, é o número de pessoas com quem essa pessoa apertou as mãos (incluindo a possibilidade de 0 apertos de mão para um nó desconectado). Um dos nossos enigmas questiona se é possível que todos esses graus sejam diferentes.

Existem muitas perguntas que podemos fazer sobre quais conjuntos de graus são possíveis. É possível que todos os graus sejam pares ou todos ímpares? Um fato interessante sobre todos os grafos é que a soma de todos os graus em um grafo é o dobro do número de arestas (Por quê?). Portanto, em nosso problema do aperto de mãos, deve sempre haver um número par de pessoas que realizam um número ímpar de apertos de mão. Quais outras restrições existem?

Imagine que você tem um grafo com todas as pessoas do mundo, onde duas pessoas estão conectadas se se conhecem. É possível ir de qualquer nó para qualquer outro nó nesse grafo, ou ele se divide em grafos separados? Para uma porção conexa desse grafo, qual é o número máximo de arestas que você precisa percorrer para chegar entre quaisquer duas pessoas? Isso às vezes é chamado de [texto incompleto ou incompleto]. grau de separação entre duas pessoas. Essa ideia foi aplicada a atores que atuaram juntos em filmes, e atribui a cada ator um Número de Kevin Bacon.

Árvores Genealógicas

Na teoria dos grafos, um árvore Um grafo conexo é aquele que não possui ciclos. Equivalentemente, existe exatamente um caminho entre quaisquer dois nós. É possível criar um grafo a partir de relações familiares conectando duas pessoas se uma for descendente da outra. Esses grafos são frequentemente chamados de árvores genealógicas.

Você pode explorar com seu filho o que aconteceria se uma árvore genealógica fosse realmente uma árvore no sentido da teoria dos grafos. Se fosse, quantas pessoas haveria em cada nível? Observe que o número de pessoas dobra a cada nível (usando relações biológicas). Começando com uma pessoa, o tamanho das gerações seria 1, 2, 4, 8, 16 e assim por diante. Dez gerações atrás, haveria 1024 pessoas. Vinte gerações atrás, haveria 1024 x 1024 pessoas. Em quarenta gerações, haveria mais pessoas do que jamais existiram. Seu filho consegue descobrir o que deu errado?

Colorir gráfico

Assim como você pode estudar mapas de cores, para um grafo dado você pode perguntar qual é o número mínimo de cores necessário para colorir seus nós de forma que nenhuma aresta tenha a mesma cor em ambas as extremidades. Isso é chamado de... número cromático para o gráfico.

Existe uma conexão direta entre mapas planos e grafos planares: os nós do grafo representam as regiões do mapa, e há uma aresta no grafo sempre que duas regiões compartilham uma fronteira. O teorema das quatro cores afirma que qualquer mapa plano precisa de, no máximo, quatro cores, e esse resultado se aplica também aos grafos planares — o número cromático de qualquer grafo planar é quatro ou menos. Desenhe alguns grafos planares e tente colorir alguns deles com seu filho para ver o resultado!

Resumindo

Esta foi uma rápida incursão por tópicos e quebra-cabeças introdutórios da Teoria dos Grafos. É claro que tive que deixar muita coisa de fora. Espero que você e seu filho tenham encontrado algumas dicas interessantes em meio a todos esses quebra-cabeças. No próximo mês, continuarei esta jornada por tópicos avançados de matemática que podem ser simplificados, envolventes e divertidos para crianças pequenas.