Evitando Retângulos – 2
Os X em uma grade podem se tornar os cantos de retângulos com lados horizontais e verticais. Os X nesta primeira grade formam dois retângulos. No entanto, o objetivo é evitar a formação de retângulos. Os X na segunda grade são posicionados de forma a evitar a formação de quaisquer retângulos.
O DESAFIO
Coloque o máximo de X's que conseguir nesta grade 4x4 e evite criar retângulos.
EXPLORAÇÃO
Qual é o máximo que você pode ter para outros tamanhos de grades? Você percebe algum padrão em suas respostas?
Notas
O DESAFIO
Resolver isso, de forma geral, é um problema muito difícil e ainda não resolvido na matemática. No entanto, isso não deve impedir um estudante de explorá-lo e aprender muitas coisas interessantes ao longo do processo.
Suponha que a grade tenha m linhas e n colunas. Em Evitando Retângulos – 1, encontramos os seguintes resultados para as melhores respostas.
Linhas 1 e 2: Tínhamos m + n – 1 X’s
3 linhas: Tínhamos m + n X's usando um diagrama inicial para uma grade 3 por 3 que se parecia com o diagrama a seguir. Usando esse diagrama, se tivéssemos 3 linhas com mais colunas, poderíamos simplesmente adicionar um único X em cada nova coluna.
O caso 3 por 3 exigiu uma abordagem diferente da estratégia com 1 ou 2 linhas, e é tentador pensar que os exemplos com 4 ou mais linhas também exigirão uma nova abordagem. Para deixar claro, queremos criar uma coleção de colunas que nunca compartilhem um par de linhas com "X".
Uma estratégia consiste em preencher toda a coluna mais à esquerda, exceto o quadrado inferior, e então adicionar um X na última linha das colunas restantes e um X em outra linha. Isso sempre funcionará e produzirá (m – 1) + 2 x (m – 1) = 3 x (m – 1) X para uma grade quadrada de m por m. Esse método de preenchimento do quadrado pode então ser estendido (adicionando um único X em cada nova coluna) para qualquer grade com m linhas, resultando em 3 x (m – 1) + (n – m) = n + 2m – 3 X, quando m < n. Essa fórmula funciona para todas as respostas em grades de qualquer tamanho (com mais de uma linha) até o momento.
EXPLORAÇÃO
Uma busca online pelas melhores respostas mostra que você pode fazer 12 X para o caso de 5 por 5 (que você pode obter usando o molde) e, em seguida, 16 X para o caso de 6 por 6 (mostrado aqui).
Depois disso, os números, começando em 7 a 7 em ordem, são: 21, 24, 29, 34, 39, 45, 52, 56, 61, 67, 74, 81, 88, 96, 105, 108, 115 e 122. Os matemáticos têm feito muitas explorações interessantes sobre como esses números funcionam, e seus alunos de matemática também podem se divertir muito com isso!
